Надо уточнить область определения: предположим $a$ — целое число. Утверждение тогда истинно: из условий следует $a=1$.
Доказательство. Пусть для всех натуральных $n$ выполняется $n\mid a^n-1$. Возьмём произвольное простое $p$. Если $p\mid a$, то $a^p-1\equiv -1(\mathrm{mod}p)$, противоречие с тем, что $p\mid a^p-1$. Значит $\gcd (a,p)=1$. По малой теореме Ферма $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$, откуда
$$a^p-1\equiv a-1(\mathrm{mod}p).$$ Раз $p\mid a^p-1$, то $p\mid a-1$. Получается, что любое простое $p$ делит $a-1$, следовательно $a-1=0$, т.е.
$$a=1.$$
Использованные теоремы и замечания: применена малая теорема Ферма (требует простоты модуля и $\gcd (a,p)=1$). Для составных $n$ прямая аналогия с Ферма не работает, но нам достаточно рассмотреть простые $n$. Если $a$ нецелое, то условие обычно невыполнимо (кратко: знаменатель даёт противоречие при выборе простого $p$ большим, чем знаменатель), поэтому единственный рациональный/целый случай — $a=1$.