Формулировка (точная). Пусть $A$ — матрица размера $n\times n$ над поле $F$. Утверждение в корректной форме звучит так:
Если характеристический многочлен $p_A(x)$ распадается над $F$ на $n$ различных линейных множителей (то есть $A$ имеет $n$ различных собственных значений в $F$), то $A$ диагонализируема над $F$.
Доказательство (классическое). Пусть собственные значения ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in F$ попарно различны, и $v_1,\dots ,v_n$ — соответствующие ненулевые собственные векторы: $A{v}_i={\lambda }_i{v}_i$. Докажем их линейную независимость. Предположим
$$\sum _{i=1}^n{c}_i{v}_i=0.$$ Для каждого $j$ рассмотрим многочлен
$$q_j(x)=\prod _{i\ne j}(x-{\lambda }_i)\in F[x].$$ Применяя оператор $q_j(A)$ к линейной комбинации, получаем
$$0=\sum _{i=1}^n{c}_i{q}_j(A)v_i=\sum _{i=1}^n{c}_i{q}_j({\lambda }_i)v_i=c_j{q}_j({\lambda }_j)v_j,$$ поскольку $q_j({\lambda }_i)=0$ при $i\ne j$ и $q_j({\lambda }_j)\ne 0$. Отсюда $c_j=0$ для всех $j$, значит $v_1,\dots ,v_n$ линейно независимы. Следовательно существует невырожденная матрица $V$ с этими векторами в столбцах, и
$$AV=V\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n),$$ т.е. $A$ диагонализируема над $F$.
Критерий через минимальный многочлен. Эквивалентная формулировка: $A$ диагонализируема над $F$ тогда и только тогда, когда минимальный многочлен $m_A(x)$ раскладывается над $F$ на простые линейные множители (то есть не содержит кратных корней).
Когда утверждение верно/неверно.
- Верно над любым полем $F$, если условие интерпретировать как «$A$ имеет $n$ попарно различных собственных значений в $F$» (то есть характеристический многочлен полностью раскладывается и все корни простые).
- Если собственные значения различны лишь в расширении поля (например, в алгебраическом замыкании), то $A$ диагонализируема над этом расширении (например, над $\mathbb{C}$), но не обязательно над исходным полем $F$.
Примеры и контрпримеры.
- Пример, когда требуется расширение поля: вещественная матрица вращения
$$R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$ имеет два различных собственного значения $i$ и $-i$ (в $\mathbb{C}$), поэтому $R$ диагонализируема над $\mathbb{C}$, но не диагонализируема над $\mathbb{R}$ (у неё нет ненулевых вещественных собственных векторов).
- Контрпример при ослаблении условия «различны»: жорданова клетка размера $2$ $$J=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$$ имеет единственное собственное значение $\lambda$ (кратность 2) и не диагонализируема ни над каком полем, т.к. минимальный многочлен $(x-\lambda {)}^2$ содержит кратный корень.
- Пример над $\mathbb{Q}$: матрица, чей характеристический многочлен неприводим квадратичный над $\mathbb{Q}$, не будет диагонализироваться над $\mathbb{Q}$, хотя над соответствующим квадратичным расширением раскладывается и тогда диагонализируема.
Краткое резюме.
- Утверждение верно при условии, что все $n$ различных собственных значений лежат в поле, над которым рассматривается диагонализация.
- Если собственные значения различны только в расширении поля, тогда диагонализация возможна над этим расширением, но не обязательно над исходным полем.