Пусть S — конечное множество из n элементов. Даны два способа подсчета числа способов выбрать непустую подсекцию S с четным количеством элементов: через биномиальные коэффициенты и через построение биекций. Сравните подходы, укажите преимущества каждого и объясните, при каких обобщениях один из методов предпочтительнее
Пусть S — конечное множество из n элементов. Даны два способа подсчета числа способов выбрать непустую подсекцию S с четным количеством элементов: через биномиальные коэффициенты и через построение биекций. Сравните подходы, укажите преимущества каждого и объясните, при каких обобщениях один из методов предпочтительнее
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Два подхода и доказательства
1) Через биномиальные коэффициенты (алгебраический метод).
- Используем разложение Ньютона:
(1+1)n=∑k=0n(nk),(1−1)n=∑k=0n(−1)k(nk).\;(1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k},\qquad (1-1)^n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}.(1+1)n=∑k=0n (kn ),(1−1)n=∑k=0n (−1)k(kn ). - Складывая эти равенства, выделяем сумму по чётным kkk:
∑0≤k≤nk чёт(nk)=(1+1)n+(1−1)n2=2 n−1.\displaystyle\sum_{\substack{0\le k\le n\\ k\ \text{чёт}}}\binom{n}{k}=\frac{(1+1)^n+(1-1)^n}{2}=2^{\,n-1}.0≤k≤nk чёт ∑ (kn )=2(1+1)n+(1−1)n =2n−1. - Исключив пустое множество (размер 000), получаем 2 n−1−1.\;2^{\,n-1}-1.2n−1−1.
2) Через биекции (комбинаторный метод).
- Зафиксируем элемент a∈Sa\in Sa∈S. Рассмотрим отображение fff на множестве всех подмножеств: f(A)=AΔ{a}f(A)=A\mathbin{\Delta}\{a\}f(A)=AΔ{a} (симметрическая разность с {a}\{a\}{a}).
- fff — инволюция и биекция, она переводит чётные множества в нечётные и обратно, поэтому число чётных подмножеств равно числу нечётных и равно 2 n−12^{\,n-1}2n−1. Вычитая пустое — снова получаем 2 n−1−1.\;2^{\,n-1}-1.2n−1−1.
Сравнение подходов и рекомендации по применению
- Биномиальный (алгебраический):
- Преимущества: даёт явные формулы и легко обобщается (корни из единицы, фильтр по модулю mmm, взвешенные суммы, qqq-аналоги, асимптотика и т.д.). Удобен для вычислений и для сложных сумм биномиальных коэффициентов.
- Недостатки: даёт меньше «комбинаторной интуиции», требует алгебраических приёмов.
- Биективный (комбинаторный):
- Преимущества: короткий наглядный аргумент, конструктивный, полезен в задачах «равно» и для объяснения причин равенств, образовательен.
- Недостатки: работает естественно для смены чётности (мод 222), трудно обобщается на классы по модулю m>2m>2m>2 или на взвешенные/многочленные случаи.
Примеры обобщений и выбор метода
- Для подсчёта чисел подмножеств с размером ≡r(modm)\equiv r\pmod m≡r(modm) удобнее алгебра: корни из единицы дают формулу 1m∑j=0m−1ω−jr(1+ωj)n\displaystyle\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}(1+\omega^j)^nm1 j=0∑m−1 ω−jr(1+ωj)n.
- Для взвешенных подсчётов, qqq-аналогов или при анализе коэффициентов производящих функций предпочтителен алгебраический/аналитический подход.
- Для простых равенств типа «число чётных равно числу нечётных» и для объяснения конструкции лучше брать биекцию.
Краткий вывод: биекция — быстрая и интуитивная для задач про чётность; биномиальные/алгебраические методы — мощнее и гибче для обобщений и вычислений.