Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^p}$ при $p>0$.
Ключевые выводы
- Абсолютная сходимость: $\sum |(-1{)}^n/n^p|=\sum 1/n^p$ — это p‑серия. Она сходится тогда и только тогда, когда $p>1$. Значит абсолютная сходимость при $p>1$, и нет абсолютной сходимости при $0<p\le 1$.
- Условная сходимость: для $p>0$ последовательность $a_n=1/n^p$ монотонно убывает и $a_n\to 0$, поэтому по признаку Лейбница (чередующийся ряд) ряд сходится для всех $p>0$. В комбинации с предыдущим получаем:
- при $p>1$ — ряд абсолютно сходится;
- при $0<p\le 1$ — ряд сходится условно (например, при $p=1$ это чередующийся гармонический ряд).
Какие признаки работают лучше
- Для проверки абсолютной сходимости — признак p‑серии (или признак Коши‑конденсации) наиболее естественен: $\sum 1/n^p$ сходится ↔ $p>1$.
- Для проверки сходимости самого чередующегося ряда — признак Лейбница даёт простой и мощный критерий (и оценку остатка: $|R_N|\le a_{N+1}=1/(N+1{)}^p$).
- Признаки Коши/радикала и Д’Аламбера (root/ratio) в данном примере дают предел ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{1/n^p}=1$ и потому обычно неинформативны.
Тонкости применения знакопеременных тестов
- Признак Лейбница требует монотонности (или хотя бы «в конечности» монотонности) и $a_n\to 0$. Если монотонность нарушена, ряд может всё ещё сходиться, но нужно применять более тонкие критерии (признак Абеля/Дирихле или оценку частичных сумм).
- Условная сходимость чувствительна к перестановкам (теорема Римана): перестановки членов условно сходящегося ряда могут изменить значение предела или привести к расходимости; абсолютная сходимость от перестановок не зависит.
- Оценка остатка для Лейбница даёт полезную численную границу скорости сходимости ($|R_N|\le 1/(N+1{)}^p$), что показывает, что при малых $p$ сходимость очень медленная.
Кратко: для проверки используйте p‑тест для абсолютной сходимости и признак Лейбница для чередующегося ряда; будьте осторожны с требованием монотонности и с тем, что при условной сходимости возможны нежелательные эффекты при перестановках.