Примеры и критерии кратко и по делу.
Примеры полных, но не компактных:
- $(\mathbb{R},d)$, $d(x,y)=|x-y|$. Полно: каждая последовательность Коши сходится в $\mathbb{R}$. Не компактен: последовательность $x_n=n$ не имеет сходящейся подпоследовательности (нет конечного подпокрытия для больших радиусов), также не тотально ограничен.
- Бесконечномерные банаховы пространства, например ${\ell }^2$ с нормой $\Vert x{\Vert }_2$. Само пространство полно; закрытый единичный шар $B=\{x:\Vert x\Vert \le 1\}$ не компактен: стандартные базисные векторы $e_n$ лежат в $B$ и $\Vert e_n-e_m\Vert =\sqrt{2}$ для $n\ne m$, значит нет ни одной сходящейся подпоследовательности.
Примеры компактных, но не полных:
- В метрических пространствах такого примера не бывает: компактность влечёт полноту. Доказательство: в метрическом пространстве компактность $\Rightarrow$ последовательная компактность (всякая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность), поэтому любая последовательность Коши (как частный случай последовательности) имеет предел в пространстве, значит пространство полное.
Ключевые инварианты и как их анализировать:
- Последовательности Коши: тест полноты — в пространстве должно сходиться каждая последовательность Коши. Для подсетей: подмножество полного пространства полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто.
- Замкнутость: важна для полноты подмножеств. Пример: $(0,1)\subset \mathbb{R}$ ограниченно, но не замкнуто → не полно: $x_n=1/n$ — последовательность Коши, предел $0\notin (0,1)$.
- Ограниченность и тотальная ограниченность (total boundedness): для компактности в метрическом пространстве требуется не просто ограниченность, а тотальная ограниченность. Теорема: в метрическом пространстве компактность эквивалентна совместному выполнению двух свойств — полноты и тотальной ограниченности. Примеры: $[0,1]$ полно и тотально ограничено → компактен; $\mathbb{R}$ полно, но не тотально ограничено → не компактен.
- Последовательная компактность / наличие сходящихся подпоследовательностей: удобный критерий на практике — компактность ⇔ любая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
Итого: чтобы различить полноту и компактность, проверяйте последовательно: (1) сходятся ли все последовательности Коши (полнота); (2) замкнуто ли множество (для подмножеств полного пространства); (3) тотально ли ограничено множество (для компактности); (4) эквивалентно — имеет ли каждая последовательность подпоследовательность, сходящуюся в пространстве.