Кратко — ответ и несколько методов с пояснениями и тонкими местами.
Результат:
$$I={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{x}dx=\frac{{\pi }^2}{12}\approx \mathrm{0.8224670334241132.}$$
Аналитические методы
1) Разложение в ряд (самый распространённый):
$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}(|x|<1),$$ отсюда
$$\frac{\ln (1+x)}{x}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}.$$ Интегрируя по $x\in [0,1)$ и переходя к пределу $1$:
$$I=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12}.$$ Пояснение по строгости: ряд не даёт равномерной сходимости на всём $[0,1]$, поэтому интегрирование выполняют сначала на $[0,1-\epsilon ]$, затем берут $\epsilon \to 0$ (или используют теорему Абеля/доминированную сходимость при аккуратном выборе ограничивающей функции).
Плюсы: простота, быстрое и точное аналитическое значение. Минусы: надо обосновать перестановку суммы и интеграла у границы радиуса сходимости.
2) Через дилогарифм:
Определение дилогарифма ${\mathrm{Li}}_2(z)=-{\int }_0^z\frac{\ln (1-t)}{t}dt$. Подстановка $z=-1$ даёт
$$I=-{\mathrm{Li}}_2(-1)=\frac{{\pi }^2}{12},$$ поскольку ${\mathrm{Li}}_2(-1)=-{\pi }^2/12$.
Плюсы: связывает интеграл со стандартной специальной функцией. Минусы: требует знания значений дилогарифма в специальных точках.
3) Метод параметров (интеграл по параметру):
Рассмотреть $F(a)={\int }_0^1\frac{\ln (1+ax)}{x}dx$. Тогда $F^{\prime }(a)={\int }_0^1\frac{1}{1+ax}dx=\frac{\ln (1+a)}{a}$. Интегрируя по $a$ от $0$ до $1$ и используя известные интегралы/функции, получаем тот же результат. Плюс — универсальность; минус — требуется дальнейшая интеграция/инверсия.
Численные методы и практические замечания
1) Суммирование ряда:
$$I=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n^2}$$ сходится как $O(1/n^2)$ (быстро). В плавающей арифметике можно ускорить преобразованием Эйлера или использовать оценку хвоста суммой интеграла для контроля погрешности.
Плюсы: простота и высокая точность за небольшое число членов. Минусы: для ряда других интегралов подобный ряд может сходиться медленно.
2) Численное интегрирование (адаптивная квадратура, Gauss–Legendre, Romberg):
- Интегранд на $x\to 0$ ведёт себя как $\ln (1+x)/x\to 1$ (съёмная особенность), поэтому нет настоящей сингулярности, но при малых $x$ возможна потеря точности из-за вычитания. Используйте функцию log1p(x) в вычислениях (вместо ln(1+x)) и вычисляйте $\ln (1+x)/x$ аккуратно; для $x<\epsilon$ можно подставлять ряд
$$\frac{\ln (1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\cdots .$$ - Адаптивная квадратура с контролем относительной ошибки даст высокий результат; для гладкой функции на конечном интервале Gauss–Legendre очень эффективен.
Плюсы: универсальность, применяется к обобщениям. Минусы: требуется аккуратность при малых $x$ (использовать log1p и/или локальную серию); без этого возможны потери значимых цифр. Для очень высокой точности выгоднее аналитическое значение или специальные функции.
Тонкие моменты, на которые обратить внимание
- Поведение в 0: не настоящая сингулярность, но численно возможна катастрофическая потеря точности — применяйте log1p и/или разложение в ряд для малых $x$.
- Перестановка пределов/сумм/интегралов: при использовании степенных рядов убедитесь в условиях теоремы о равномерной сходимости или примените предельный переход с отсечкой $1-\epsilon$.
- На границе радиуса сходимости (x=1) исходный степенной ряд даёт условную (альтернативную) сходимость, нужно аккуратно обосновать интегрирование по пределу.
- Если требуется произвольная точность — лучше использовать аналитическое значение ${\pi }^2/12$ или специальные функции (Li_2), а не слепо численную интеграцию.
Рекомендация: для этого конкретного интеграла — использовать аналитическое значение ${\pi }^2/12$. Для численной проверки/вычисления — суммировать ряд $\sum (-1{)}^{n-1}/n^2$ или применять адаптивную квадратуру с использованием log1p и разложения в ряд при малых $x$.