Модель и оценка:
- Предположение модели: каждое извлечение — независимое испытание с вероятностью белого шара $p$ (с возвращением). Наблюдали $n$ извлечений, белых $k$.
- MLE (оценка правдоподобия): $\hat{p}=k/n$.
- Свойства (при правильной модели): несмещённость (в простейшем биномиальном случае), дисперсия $\mathrm{Var}(\hat{p})=p(1-p)/n$, асимптотическая нормальность $\hat{p}\approx N(p,p(1-p)/n)$.
Интервальная оценка:
- «Волдовский» (приближённый) доверительный интервал: $\hat{p}\pm z_{1-\alpha /2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ — плохо работает при малых $n$ или $\hat{p}$ близко к $0$ или $1$.
- Рекомендуемый Wilson-интервал (с уровнем $1-\alpha$, $z=z_{1-\alpha /2}$):
$$\frac{\hat{p}+\frac{z^2}{2n}\pm z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}+\frac{z^2}{4n^2}}}{1+\frac{z^2}{n}}.$$ - Точный (консервативный) Clopper–Pearson на базе биномиального распределения при малых выборках.
Байесовский подход и влияние априори:
- Возьмём априор Beta$(\alpha ,\beta )$. Тогда апостериор: Beta$(\alpha +k,\beta +n-k)$.
- Апостериорное среднее: $\mathbb{E}[p\mid \text{данные}]=\frac{\alpha +k}{\alpha +\beta +n}$.
- MAP (если $\alpha ,\beta >1$): $\frac{\alpha +k-1}{\alpha +\beta +n-2}$.
- Частые варианты: неинформативный равномерный $\mathrm{Beta}(1,1)$, Jeffreys $\mathrm{Beta}(1/2,1/2)$. Априор сильнее влияет при малых $n$; при больших $n$ данные «перебивают» априор.
Устойчивость оценок и нарушения модели:
- Нарушение независимости (зависимые извлечения) или изменение $p$ во времени (нестационарность) приведёт к смещённым/неправильным оценкам. Диагностика: тесты последовательностей, анализ по блокам.
- Без возвращения: модель — гипергеометрическая; если популяция большая и $n$ мало, биномиальная аппроксимация приемлема; при крупном $n$ нужно скорректировать.
- Гетерогенность (смесь подгрупп с разными $p$) даёт сверхдисперсию; модель Beta–Binomial или иерархическая байесовская модель — естественное исправление.
- Ошибки классификации (неверно идентифицированные цвета) требуют моделирования ошибок измерения и корректировки оценок.
Практические рекомендации:
- Для обычных задач: оценка $\hat{p}=k/n$, доверительный интервал — Wilson.
- При малых n или отсутствии уверенности — использовать байесовский подход с явным априором и проводить sensitivity analysis по $\alpha ,\beta$.
- При подозрении на зависимость или гетерогенность — расширить модель: временные тренды, Beta–Binomial или иерархическая модель; при отсутствии возвращения — применить гипергеометрическую модель.
Формулы суммарно: likelihood $\propto p^k(1-p{)}^{n-k}$, MLE $\hat{p}=k/n$, Var $\approx p(1-p)/n$, апостериор при Beta$(\alpha ,\beta )$: Beta$(\alpha +k,\beta +n-k)$ с средним $(\alpha +k)/(\alpha +\beta +n)$.