Коротко — правильный ответ: уравнение $(x-2{)}^2=0$ имеет единственный действительный корень $x=2$ с кратностью $2$.
Критический разбор (сжато):
1. Самый простой и правильный ход:
- заметить, что $$x^2-4x+4=(x-2{)}^2,$$ значит $$(x-2{)}^2=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2.$$
2. Излишние или избыточные шаги:
- применение формулы квадратного уравнения в полном виде здесь избыточно (хотя корректно): вычисление дискриминанта, извлечение корней с «$\pm$», затем упрощение до одинаковых значений — это длиннее, чем факторизация в квадрат полного двучлена.
- излишне записывать $\pm 0$ при извлечении корня из ноля (например, писать $x-2=\pm 0$) — это тавтология, так как $\pm 0=0$.
3. Классические ошибки интерпретации корней:
- называть два одинаковых корня «двумя различными корнями» — неправильное утверждение: множество решений содержит один элемент $2$, но корень имеет алгебраическую кратность $2$.
- при делении на выражение, которое может быть нулём (например, деление обеих частей на $x-2$ до факторации), можно потерять корень: нельзя делить на неизвестное выражение, не рассматривая случай, когда оно равно нулю.
- неверно утверждать, что при дискриминанте $D=0$ «корней нет» или «корней два разных» — правильное: один корень с кратностью 2.
4. Как корректно сформулировать вывод:
- «Уравнение $(x-2{)}^2=0$ имеет единственный корень $x=2$. Этот корень имеет алгебраическую кратность 2 (двойной корень).» Дополнительная интерпретация: график квадратичной функции касается оси абсцисс в точке $(2,0)$ и не пересекает её.
Рекомендованный краткий ответ в решении: показать факторизацию, записать $(x-2{)}^2=0$ и сделать вывод «$x=2$, кратность 2».