Задача: построить касательную к окружности с центром $O$ в заданной точке $P$, лежащей на её диаметре (т.е. $P$ — точка окружности; заметка: если точка — центр $O$, касательной не существует).
Пошаговое построение (циркуль и непомеченная линейка):
1. Убедитесь, что $P$ лежит на окружности и на прямой диаметра, радиус равен $OP$.
2. Центром в точке $P$ проведите окружность произвольного радиуса $r>0$. Эта окружность пересечёт прямую диаметра в двух противоположных точках $A$ и $B$ таких, что $|PA|=|PB|=r$.
(запись: выбрали $r>0$, получили точки $A$ и $B$ на той же прямой).
3. Постройте перпендикуляр к прямой $AB$ через её середину (перпендикулярный биссектор):
a. С центров в $A$ и $B$ проведите окружности равным радиусом $s$ так, чтобы $s>\frac{AB}{2}$; они пересекутся в двух точках $C$ и $D$ по разные стороны от $AB$.
b. Проведите прямую через $C$ и $D$. Эта прямая — перпендикулярный биссектор отрезка $AB$; он проходит через $P$ и перпендикулярен $AB$.
4. Прямая $CD$ — искомая касательная в точке $P$, потому что она перпендикулярна радиусу $OP$ в точке касания.
Короткое обоснование (теорема, используемая для корректности):
- Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. В построении мы получили прямую, перпендикулярную $OP$ в $P$, следовательно это касательная.
Аксиомы и вспомогательные утверждения Евклидовой геометрии, используемые в построении:
- Постулат о проведении прямой между двумя точками (можем провести прямую $CD$, $AB$ и т.д.).
- Возможность описать окружность с любым центром и радиусом (постулат о круге) — используем для окружностей с центрами $P,A,B$.
- Свойства равенства и симметрии (построение точек $A,B$ симметричных относительно $P$).
- Теорема о перпендикулярном биссекторе (конструктивно получается пересечением кругов) и факт: перпендикуляр к радиусу в точке окружности — касательная.
(Парафраз: используются прямые построения, пересечение окружностей, равенства отрезков и свойства перпендикуляра.)
Возможные практические ошибки и как их минимизировать:
- Неправильное определение $P$: если $P$ — внутрь окружности (не на границе) или $P=O$, касательной не существует. Проверяйте, что $|OP|=R$.
- Слишком малый/большой выбор $r$: если при шаге 2 круг слишком мал, точки $A,B$ будут слишком близки (погрешности), слишком большой — неудобно; берите $r$ умеренным, чтобы $A$ и $B$ были от $P$ на несколько миллиметров/сантиметров.
- При шаге 3 выбор $s\le \frac{AB}{2}$ приведёт к отсутствию пересечения окружностей $A$ и $B$. Следите, чтобы $s>\frac{AB}{2}$.
- Неточные отметки и скольжение циркуля/линейки: используют острый карандаш, твёрдый циркуль, жёсткую опору; при черчении не смещать бумагу.
- Слишком близкое расположение точек $C,D$ (малые углы) увеличивает относительную погрешность при проведении прямой; выбирайте $s$ так, чтобы пересечения были разнесены.
- Ошибка при проведении прямой через $C$ и $D$: используйте линейку по двум точкам, не касаясь остриём циркуля на листе.
Краткое практическое правило: касательная в точке окружности строится как перпендикуляр к радиусу, проведённому в эту точку; стандартная конструкция через построение симметричных точек и перпендикулярного биссектора даёт её с циркулем и линейкой.