Для $f_n(x)=x^n$ на $[0,1]$:
- Точечная сходимость: для любого $x\in [0,1)$ имеем ${\lim }_{n\to \infty }{x}^n=0$, а для $x=1$ — ${\lim }_{n\to \infty }{1}^n=1$. Итого пределная функция
$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<1,\\ 1,& x=1.\end{array}$
- Равномерная сходимость: не выполняется. Действительно,
${\sup }_{x\in [0,1]}|x^n-f(x)|={\sup }_{x\in [0,1)}{x}^n=1$ для всех $n$, так что $\sup |x^n-f|\nrightarrow 0$.
- Сходимость в $L^1$: выполняется. ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0$. Заметьте, в $L^1$ класс предела совпадает с нулевой функцией (так как отличие в одной точке не влияет на интеграл).
Для $g_n(x)=\frac{x}{n}$ на $[0,1]$:
- Точечная сходимость: для любого $x\in [0,1]$ ${\lim }_{n\to \infty }\frac{x}{n}=0$. Пределная функция $g\equiv 0$.
- Равномерная сходимость: выполняется, поскольку sup⁡x∈[0,1]∣xn−0∣=1n→0\displaystyle \sup_{x\in[0,1]}\Big|\frac{x}{n}-0\Big|=\frac{1}{n}\to0x∈[0,1]sup nx −0 =n1 →0.
- Сходимость в $L^1$: выполняется: ${\int }_0^1\frac{x}{n}dx=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2n}\to 0$.
Сравнение типов сходимости и следствия для интегралов:
- Равномерная сходимость на множестве конечной меры влечёт сходимость в $L^1$: если $\sup |f_n-f|\to 0$, то $\int |f_n-f|\le \mu ([0,1])\sup |f_n-f|\to 0$. Поэтому для $g_n$ равномерность гарантирует $L^1$-сходимость.
- Сходимость в $L^1$ не обязательно влечёт равномерную сходимость (пример: $f_n=x^n$ — есть $L^1$-сходимость, но не равномерная). Точечная сходимость сама по себе не гарантирует ни равномерной, ни $L^1$-сходимости без дополнительных условий.
- Обмен предела и интеграла: если $f_n\to f$ в $L^1$, то $\int f_n\to \int f$. Также по теореме доминированной сходимости (DCT) или по прямому вычислению в наших примерах можно менять предел и интеграл. Для $f_n$: ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0$, а интеграл предельной функции $f$ равен $0$ (точка $x=1$ имеет нулевую меру). Для $g_n$: ${\int }_0^1\frac{x}{n}dx=\frac{1}{2n}\to 0$, предельный интеграл тоже $0$.
Коротко: $f_n$ — сходится поточечно к разрывной функции, не равномерно, но в $L^1$; $g_n$ — сходится поточечно и равномерно к $0$, следовательно и в $L^1$. В обоих случаях ${\lim }_n\int f_n=\int {\lim }_n{f}_n=0$ и ${\lim }_n\int g_n=\int {\lim }_n{g}_n=0$.