Коротко — формулы и когда их лучше использовать.
Данные: стороны $a,b$ и угол между ними $\gamma$ (угол при вершине, общая для сторон $a,b$; сторона напротив этого угла — $c$).
Основные формулы:
- площадь (самая простая и обычно устойчивa)
$$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma .$$ - высоты (через площадь)
$$h_a=\frac{2S}{a}=b\sin \gamma ,h_b=\frac{2S}{b}=a\sin \gamma ,h_c=\frac{2S}{c}=\frac{ab\sin \gamma }{c}.$$ - длина третьей стороны (закон косинусов)
$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }.$$
Устойчивость и альтернативы:
- Для площади предпочтителен прямо $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$. Устойчив, когда $\sin \gamma$ вычисляется точно. При очень маленьких $\gamma$ площадь мала (потенциально большая относительная погрешность), но формула всё равно численно простая.
- Вычисление $c$ по формуле с вычитанием может страдать потерей значащих цифр, когда $\gamma$ очень мала или очень близка к $\pi$ и при этом $a\approx b$ (тогда под корнем разность больших близких чисел). Более устойчивый эквивалент:
$$c=\sqrt{(a-b{)}^2+4ab{\sin }^2\frac{\gamma }{2}}$$ и для наилучшей реализации вычислять через hypot:
$$c=\mathrm{hypot}\left(a-b,2\sqrt{ab}\sin \frac{\gamma }{2}\right).$$ Это уменьшает потерю точности при вычитании и работает лучше при малых углах.
- Если известны уже все три стороны (или требуется альтернатива), площадь можно получить по Герону:
$$s=\frac{1}{2}(a+b+c),S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$ Heron хорош при «нормальных» треугольниках, но неустойчив для сильно вытянутых (когда один из членов $s-a,s-b,s-c$ мал).
- Вычисление высот: $h_a=b\sin \gamma ,h_b=a\sin \gamma$ — очень простое и устойчивое (если $\sin \gamma$ точен). $h_c$ удобнее брать как $h_c=\frac{ab\sin \gamma }{c}$ при условии, что $c$ найден устойчиво (см. устойчивый способ выше). Альтернатива — построить координаты (например вершины в $(0,0),(a,0),(b\cos \gamma ,b\sin \gamma )$) и взять модуль векторного произведения для площади; это полезно при программной реализации с функцией hypot.
Практические рекомендации:
- Используйте напрямую $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$ и $h_a=b\sin \gamma ,h_b=a\sin \gamma$.
- Если нужен $c$, применяйте формулу через $\sin (\gamma /2)$ и hypot при возможной потере точности.
- Для очень вытянутых или почти вырожденных треугольников избегайте Герона и формул с большими вычитаниями; используйте выражения через sin(·/2) и масштабирование/ гипотенузу.