Ошибочный «доказательный» ход:
Предположим, что столбцы матриц $A$ и $B$ — это векторы $A=(a_1,\dots ,a_n)$, $B=(b_1,\dots ,b_n)$. Для суммы столбцы равны $a_j+b_j$. Поскольку определитель мультилинеен по столбцам, кто‑то неверно делает вывод
$$\det (A+B)=\det (a_1+b_1,\dots ,a_n+b_n)=\det (a_1,\dots ,a_n)+\det (b_1,\dots ,b_n)=\det (A)+\det (B).$$
Где ошибка:
Мультилинейность означает линейность по каждому отдельному столбцу при прочих столбцах фиксированных, но не по всей матрице целиком. При подстановке суммы в каждый столбец надо развернуть по принципу распределительности по каждому столбцу, и получаются не только два слагаемых $\det (A)$ и $\det (B)$, а все комбинации выбора столбца из $A$ или из $B$ для каждого индекса:
$$\det (A+B)=\sum _{\epsilon \in \{0,1{\}}^n}\det (c_1^{\epsilon },\dots ,c_n^{\epsilon }),$$ где $c_j^{\epsilon }=a_j$ если ${\epsilon }_j=0$ и $c_j^{\epsilon }=b_j$ если ${\epsilon }_j=1$. Всего $2^n$ членов; среди них есть $\det (A)$ и $\det (B)$, но также есть смешанные члены типа $\det (a_1,b_2,a_3,\dots )$, которые обычно не нулевые. Для наглядности при $n=2$:
$$\det (a_1+b_1,a_2+b_2)=\det (a_1,a_2)+\det (a_1,b_2)+\det (b_1,a_2)+\det (b_1,b_2).$$
Корректное утверждение:
Определитель — мультилинейная функция столбцов (или строк). В частности, если две матрицы $A$ и $B$ различаются только в одном столбце (то есть для некоторого $j$ все столбцы $i\ne j$ у них равны), то выполняется аддитивность по этому столбцу:
$$\text{если}A=(c_1,\dots ,c_j,\dots ,c_n),B=(c_1,\dots ,d_j,\dots ,c_n),\text{то}\det (A+B)=\det (c_1,\dots ,c_j+d_j,\dots ,c_n)=\det (A)+\det (B).$$ В общем же случае для матриц произвольных $n\times n$ верно неравенство аддитивности; вместо этого полезны свойства: $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ и мультилинейность по столбцам.
Контрпример:
Возьмём
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$ Тогда $\det (A)=0$, $\det (B)=0$, но
$$A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\det (A+B)=1\ne 0+0.$$ Другой простой контрпример: $A=B=I_2$. Тогда $\det (A)=\det (B)=1$, но $\det (A+B)=\det (2I_2)=4\ne 2$.