Законы распределения
- Для подсчёта числа «успехов» в выборке размера $n$ из конечной популяции размера $N$, где в популяции $K$ 성공ов, применяется гипергеометрическое распределение:
$$P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)},\max (0,n-(N-K))\le k\le \min (n,K).$$ - Для нескольких категорий — многомерное (мультиномиальное) гипергеометрическое распределение (urn-model).
При больших $N$ и малой доле выборки ($n/N$ достаточно мал) гипергеометрическое распределение приближается к биномиальному $Bin(n,p)$ с $p=K/N$.
Матожидание и дисперсия (зависимость от $n$)
- Для числа успехов $X$ в гипергеометрическом случае
$$\mathbb{E}[X]=n\frac{K}{N}=np,$$ $$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1},p=\frac{K}{N}.$$ Фактор $\frac{N-n}{N-1}$ — конечная поправка (finite population correction, FPC). Для малой выборочной доли $n/N\ll 1$ FPC$\approx 1$ и $\mathrm{Var}(X)\approx np(1-p)$ (биномиальная форма).
- Для сумм/средних значений вещественной характеристики: если в популяции дисперсия значений равна ${\sigma }_{pop}^2=\frac{1}{N}\sum (x_i-\mu {)}^2$, то для выборочного среднего $\bar{X}$ $$\mathbb{E}[\bar{X}]=\mu ,\mathrm{Var}(\bar{X})=\frac{{\sigma }_{pop}^2}{n}\frac{N-n}{N-1}.$$ А для суммы $S={\sum }_{i=1}^n{X}_i$: $\mathrm{Var}(S)=n{\sigma }_{pop}^2\frac{N-n}{N-1}$.
Замечание по зависимости от $n$: $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}$ как функция $n$ равна параболе, равной нулю при $n=0$ и $n=N$ и достигает максимума при $n=N/2$. Для малых $n$ дисперсия растёт почти пропорционально $n$; при больших $n$ FPC уменьшает дисперсию и она стремится к нулю при $n\to N$.
Учет зависимости между испытаниями
- Вытаскивания без возвращения взаимозависимы (отрицательно коррелированы). Для индикаторных величин $I_i$ (успех в i‑м вытаскивании):
$$\mathbb{E}[I_i]=p,\mathrm{Var}(I_i)=p(1-p),$$ $$\mathrm{Cov}(I_i,I_j)=-\frac{p(1-p)}{N-1}(i\ne j).$$ Поэтому для суммы $X={\sum }_{i=1}^n{I}_i$ учитывают не только вариации отдельных индикаторов, но и ковариации, что даёт формулу вариации с FPC выше.
- В многокатегориальном случае для счётов $X_k$ и $X_{\ell }$ по категориям с размерами популяции $N_k,N_{\ell }$:
$$\mathbb{E}[X_k]=n\frac{N_k}{N},$$ $$\mathrm{Var}(X_k)=n\frac{N_k}{N}(1-\frac{N_k}{N})\frac{N-n}{N-1},$$ $$\mathrm{Cov}(X_k,X_{\ell })=-n\frac{N_k}{N}\frac{N_{\ell }}{N}\frac{N-n}{N-1}(k\ne \ell ).$$
Практические следствия
- Для малой выборочной доли ($n/N\lesssim 0.05$) можно пренебречь зависимостью и использовать биномиальные/независимые модели.
- В общем случае использовать гипергеометрическое распределение или явный учёт ковариаций и конечной поправки в оценках дисперсий.