Ключевые факты и критерии.
1) Лейбниц (признак чередующегося ряда). Если $a_n>0$, монотонно убывают и ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$, то ряд
$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n$$ сходится. Остаток после $N$ членов удовлетворяет оценке
∣RN∣=∣∑n=N+1∞(−1)n+1an∣≤aN+1. |R_N|=\Big|\sum_{n=N+1}^\infty (-1)^{n+1}a_n\Big|\le a_{N+1}.
∣RN ∣= n=N+1∑∞ (−1)n+1an ≤aN+1 .
2) Абсолютная сходимость. Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходится ряд положительных членов:
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n<\infty .$$ Если $\sum a_n=\infty$, но условия Лейбница выполняются, то ряд сходится условно (не абсолютно).
3) Обобщённые критерии. Dirichlet: если частичные суммы $B_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k$ ограничены, $a_n\to 0$ монотонно, то $\sum a_n{b}_n$ сходится. Абелев критерий — смежный инструмент (абелево суммирование/интегральная форма). Эти критерии полезны, когда знак членов меняется сложнее, чем простая чередуемость.
4) Перестановки и условная сходимость. Для условно сходящихся рядов перестановка членов может изменить сумму (теорема Римана о перестановках): можно получить любую заданную сумму или сделать ряд расходящимся.
Примеры и роль дзета‑функции / преобразований Римана
- p‑пример: $a_n=n^{-p}$.
- Если $p>0$, то по Лейбницу ряд $\sum (-1{)}^{n+1}{n}^{-p}$ сходится.
- Абсолютная сходимость при $p>1$. Для $0<p\le 1$ сходимость условная (при $p=1$ — чередующийся гармонический ряд).
- Дирихле/эта‑функция (чередующаяся дзета): для комплексного $s$ $$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{n}^{-s}.$$ Имеет связь с дзета‑функцией Римана:
$$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s),$$ что позволяет аналитически продолжать $\eta (s)$ и вычислять значения вне полосы абсолютной сходимости. Примеры:
- $s=1$: классически ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}/n=\ln 2$.
- аналитическое продолжение даёт смысл «суммам» расходящихся чередующихся рядов, например формально $1-2+3-4+\cdots =\eta (-1)=\frac{1}{4}$ через соотношение с $\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$.
- Преобразования для ускорения/анализа: преобразование Эйлера для чередующихся рядов и метод Абеля (абелево суммирование) позволяют ускорить сходимость и получать пределы, в том числе в ситуациях аналитического продолжения.
Короткая резюмирующая формула:
- Лейбниц гарантирует сходимость при $a_n\downarrow 0$;
- абсолютная сходимость эквивалентна сходимости $\sum a_n$;
- дзета/эта‑функции и аналитическое продолжение дают мощные инструменты для вычисления сумм (и «аддитивных значений» расходящихся чередующихся рядов), а теорема Римана о перестановках показывает осторожность при условной сходимости.