Нужно уточнить, что понимается под «бесконечностью». Коротко по случаям: - В расширенной вещественной прямой: +∞⋅+∞=+∞+\infty\cdot+\infty=+\infty+∞⋅+∞=+∞ (и +∞⋅(−∞)=−∞+\infty\cdot(-\infty)=-\infty+∞⋅(−∞)=−∞). При этом выражения типа 0⋅∞0\cdot\infty0⋅∞ — не определены/неопределённая форма при предельных переходах. - Как пределы: limx→∞x⋅x=∞\lim_{x\to\infty}x\cdot x=\inftylimx→∞x⋅x=∞. - Для кардиналов (множество‑размерностей): для бесконечных кардиналов κ,λ≥ℵ0\kappa,\lambda\ge\aleph_0κ,λ≥ℵ0 выполняется κ⋅λ=max(κ,λ)\kappa\cdot\lambda=\max(\kappa,\lambda)κ⋅λ=max(κ,λ). Пример: ℵ0⋅ℵ0=ℵ0\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0ℵ0⋅ℵ0=ℵ0. - Для ординалов (порядковых типов) умножение некоммутативно: ω⋅ω=ω2\omega\cdot\omega=\omega^2ω⋅ω=ω2 (это больше, чем ω\omegaω), тогда как 2⋅ω=ω2\cdot\omega=\omega2⋅ω=ω. Итого: в большинстве привычных контекстов ответ — «бесконечность», но точное значение зависит от выбранной теории (расширенные числа, кардиналы, ординалы, пределы).
- В расширенной вещественной прямой: +∞⋅+∞=+∞+\infty\cdot+\infty=+\infty+∞⋅+∞=+∞ (и +∞⋅(−∞)=−∞+\infty\cdot(-\infty)=-\infty+∞⋅(−∞)=−∞). При этом выражения типа 0⋅∞0\cdot\infty0⋅∞ — не определены/неопределённая форма при предельных переходах.
- Как пределы: limx→∞x⋅x=∞\lim_{x\to\infty}x\cdot x=\inftylimx→∞ x⋅x=∞.
- Для кардиналов (множество‑размерностей): для бесконечных кардиналов κ,λ≥ℵ0\kappa,\lambda\ge\aleph_0κ,λ≥ℵ0 выполняется κ⋅λ=max(κ,λ)\kappa\cdot\lambda=\max(\kappa,\lambda)κ⋅λ=max(κ,λ). Пример: ℵ0⋅ℵ0=ℵ0\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0ℵ0 ⋅ℵ0 =ℵ0 .
- Для ординалов (порядковых типов) умножение некоммутативно: ω⋅ω=ω2\omega\cdot\omega=\omega^2ω⋅ω=ω2 (это больше, чем ω\omegaω), тогда как 2⋅ω=ω2\cdot\omega=\omega2⋅ω=ω.
Итого: в большинстве привычных контекстов ответ — «бесконечность», но точное значение зависит от выбранной теории (расширенные числа, кардиналы, ординалы, пределы).