Кратко и по делу — почему ошибка: при делении или сокращении нужно гарантировать, что делитель не равен нулю. Если этого не проверить, вы потеряете корни (как $x=0$) или получите недопустимые преобразования.
1) Правильное разборное решение квадратного уравнения
- Общий вид: $a{x}^2+bx+c=0.$ - Разделите по случаю коэффициента $a$:
- Если $a\ne 0$, это квадратное уравнение. Корни находятся через дискриминант
$$D=b^2-4ac,x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}(\text{если}D\ge 0).$$ При $D<0$ вещественных корней нет.
- Если $a=0$, уравнение сводится к линейному:
$$bx+c=0.$$ Если $b\ne 0$, то $x=-\frac{c}{b}$. Если $b=0$, то либо $c=0$ — тождество (любое $x$), либо $c\ne 0$ — противоречие (решений нет).
2) Какие шаги допустимы при сокращении/делении
- Делить обе части равенства можно только на выражение, которое по условию НЕ равно нулю (или при делении вводить отдельный случай, когда оно равно нулю).
- Сокращать общий фактор в произведении можно, если известно, что этот фактор ≠0; иначе выделяют отдельный случай «фактор = 0».
- Факторизацию вида $({\text{factor}}_1)\cdot ({\text{factor}}_2)=0$ разрешено решать как ${\text{factor}}_1=0$ или ${\text{factor}}_2=0$.
- Умножение/деление на выражение с переменной без проверки знака/нулевости — преобразование неэквивалентно и требует проверки потерянных/внесённых корней.
- Возведение в квадрат, извлечение корней и другие неэквивалентные операции требуют проверки полученных корней подстановкой в исходное уравнение.
3) Обработка случаев, когда делитель/коэффициент могут быть нулём (на примере «отменили $x=0$»)
- Если в ходе решения вы делите на $x$ или сокращаете множитель $x$, обязательно распишите:
- Случай 1: $x=0$. Подставьте в исходное уравнение и проверьте, является ли это решением (зависит от $c$: если $c=0$, то $x=0$ — корень).
- Случай 2: $x\ne 0$. Допускается деление, затем решаете полученное уравнение на множестве $x\ne 0$.
- Аналогично для параметров: если вы делите на $a$, сначала рассмотрите отдельно $a=0$ и $a\ne 0$.
4) Частые косвенные допущения и как их избегать
- Допущение «разделим на $a$» без проверки — должно быть заменено на явное разбиение по случаю $a=0$.
- Сокращение общего множителя, полученного группировкой (например, взяли $x(ax+b)+c$ и сократили на $x$ без проверки) — нужно выделить случай $x=0$.
- Игнорирование множественных решений при факторизации — нужно перечислить все корни и проверить их.
5) Чек‑лист для проверки подобных решений
- 1) Явно выделил(а) все случаи, в которых делитель или коэффициент могут быть нулём (например, $a=0$, $x=0$, $b=0$)?
- 2) Если делил(а) на выражение, подтвердил(а), что оно ≠0, либо рассмотрел(а) отдельно случай, когда =0?
- 3) При факторизации перечислены все факторные уравнения и проверены их пересечения?
- 4) При возведении в квадрат/извлечении корня/умножении на выражение с переменной проверил(а) полученные решения подстановкой в исходное уравнение?
- 5) Для квадратичного случая проверил(а) дискриминант $D=b^2-4ac$ и поведение при $D<0,D=0,D>0$?
- 6) Обработал(а) вырожденные случаи ($a=0$ свёл к линейному, $a=b=0$ дал либо тождество, либо противоречие)?
- 7) Проверил(а) кратные корни (если $D=0$, корень двойной) и учёл(а) их кратность при сокращениях?
- 8) Подставил(а) все найденные решения в исходное уравнение для окончательной валидации?
Короткий пример ошибки и правильного исправления:
- Ошибка: делят на $x$ в уравнении $a{x}^2+bx+c=0$ и забывают про $x=0$.
- Правильно: проверяют отдельно
$$x=0\Rightarrow c=0\text{(тогда x=0 — корень)},x\ne 0\Rightarrow \text{делим/решаем на}x\ne 0.$$
Вывод: любое деление/сокращение требует проверки нулевых случаев и последующей подстановки найденных корней.