Кратко: возможны ровно все нечётные $N$, кроме $3$. То есть $N=1$ и все нечётные $N\ge 5$.
Обоснование (сжато).
1) Инвариант по чётности: обмен Маши даёт $+6$ монет, обмен Даши — $-4$. Оба изменения чётны, значит чётность не меняется. Так как старт $1$ (нечётное), достижимы только нечётные $N$.
2) Невозможность $N=3$: если не использовалась Даша, то $N=1+6a$ — не даёт $3$. Если использовалась Даша как последний шаг, то перед последней Дашей было $\ge 8$ монет, и после неё стало $3$, то есть до неё было $7$ — противоречие. Значит $3$ недостижимо.
3) Достижимость всех нечётных $N\ge 5$: возьмём $k\ge 2$ того же паритета, что обеспечивает совпадение по модулю $4$: $1+6k\equiv N(\mathrm{mod}4)$ и $1+6k\ge N$. Тогда $t=(1+6k-N)/4$ — неотрицательное целое, и последовательность: сделать $k$ обменов Маши (получить $1+6k$), затем $t$ раз применить обмен Даши, приведёт к $N$. При этом перед каждым обменом Даши текущее число монет всегда $\ge 8$, потому что перед последним оно равно $N+4\ge 9$.
Следовательно, достижимы ровно нечётные $N$ за исключением $3$.