Пусть параллелепипед состоит из $a\times b\times c$ маленьких кубиков ($a,b,c\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$). Кубик будет иметь ровно три окрашенные грани тогда и только тогда, когда он находится в углу параллелепипеда и при этом в каждом направлении есть хотя бы по одному соседнему слою (т.е. по одному неокрашенному смежному кубику с противоположной стороны). Это возможно только если $a\ge 2,b\ge 2,c\ge 2$; в этом случае угловых кубиков ровно 8.
Итого:
$$N=\{\begin{array}{ll}8,& a\ge 2,b\ge 2,c\ge 2,\\ 0,& \text{иначе}.\end{array}$$