Ниже — несколько наглядных примеров уравнений вида $a{x}^2+bx+c=0$ с параметром $a$ и краткий разбор, при каких $a$ меняется количество/тип корней, и какие приёмы удобнее.
1) $a{x}^2+2x+1=0$.
Дискриминант: $D(a)=2^2-4a\cdot 1=4-4a$.
- $a<1$: $D>0$ — два различных вещественных корня.
- $a=1$: $D=0$ — двойной корень $x=-1$.
- $a>1$: $D<0$ — два комплексных сопряжённых.
Особый случай $a=0$: уравнение линейное $2x+1=0$.
Метод: стандартный анализ дискриминанта; при $a\to 0$ — отдельно рассмотреть линейный случай.
2) $a{x}^2-4x+3=0$.
Дискриминант: $D(a)=(-4{)}^2-4a\cdot 3=16-12a$.
- $a<\frac{4}{3}$: $D>0$ — два вещественных.
- $a=\frac{4}{3}$: двойной корень.
- $a>\frac{4}{3}$: комплексные.
Метод: дискриминант; при рациональном значении $a$ может получаться точное (целое/рациональное) разложение.
3) $a{x}^2+x-1=0$.
Дискриминант: $D(a)=1-4a(-1)=1+4a$.
- $a>-\frac{1}{4}$: $D>0$ — два вещественных.
- $a=-\frac{1}{4}$: двойной корень.
- $a<-\frac{1}{4}$: комплексные.
Метод: дискриминант; удобно также записать корни через $x=\frac{-1\pm \sqrt{1+4a}}{2a}$ для $a\ne 0$ и отдельно $a=0$ даёт $x=1$.
4) $a{x}^2+2x=0$ (случай $c=0$).
Факторизация: $x(ax+2)=0$.
- Для $a\ne 0$: два корня $x=0$ и $x=-\frac{2}{a}$ (всегда вещественные, но вторичный уходит в бесконечность при $a\to 0$).
- При $a=0$: линейно $2x=0$ даёт просто $x=0$ (кратность меняется).
Метод: факторизация предпочтительна (быстрее и нагляднее, чем дискриминант).
5) $a{x}^2+1=0$ (случай $b=0$).
Дискриминант: $D(a)=0-4a\cdot 1=-4a$.
- $a<0$: $D>0$ — два вещественных корня $x=\pm \sqrt{-\frac{1}{a}}$.
- $a=0$: не квадратное, даёт $1=0$ — нет корней (противоречие).
- $a>0$: $D<0$ — комплексные.
Метод: вынести в вид $x^2=-\frac{1}{a}$ (удобнее, чем дискриминант, когда $b=0$).
Короткие рекомендации по методам:
- Общий случай: вычислить $D(a)=b^2-4ac$. Знак $D$ для $a\ne 0$ определяет тип корней; корни задаются $x=\frac{-b\pm \sqrt{D(a)}}{2a}$.
- Отдельно рассмотреть $a=0$ (переход к линейному уравнению).
- Если $c=0$: факторизация $x(ax+b)=0$ — самый прямой путь.
- Если $b=0$: удобно решать как квадрат на $x$: $a{x}^2+c=0$.
- Для аналитики изломов (переходов типа корней) полезно решать $D(a)=0$ — находим пороговые значения $a$; для «геометрического» понимания и оценки корней полезно приведение к вершине: $a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+c-\frac{b^2}{4a}$.
Если нужно, приведу дополнительные конкретные примеры или графики зависимости корней от $a$.