Решение (кратко).
Подставим $y=0$:
$$f(x)=f(x)f(0)-f(0)\Rightarrow f(x)(f(0)-1)=f(0)\text{для всех}x.$$ Отсюда два варианта:
1) Если $f(0)=1$, то левая часть равна $0$ при всех $x$, а правая равна $1$ — противоречие. Значит $f(0)\ne 1$ невозможно быть одновременно с существованием функции; поэтому этот случай исключён.
2) Значит $f(0)\ne 1$ и можно делить: для всех $x$ $$f(x)=\frac{f(0)}{f(0)-1}=\text{const}=c.$$ Подставляем константу в уравнение:
$$c=c^2-c\Rightarrow c(c-2)=0,$$ откуда $c=0$ или $c=2$.
Итого единственные решения на $\mathbb{R}$:
$$f(x)\equiv 0\text{и}f(x)\equiv 2.$$
Замечания по регулярности и критические шаги:
- Непрерывность здесь не нужна: уже подстановка $y=0$ даёт жёсткое ограничение, приводящее к единственным константным решениям.
- Критичны шаги: подстановка $y=0$, разбор случая $f(0)=1$ (исключение), и вывод о константности при $f(0)\ne 1$, затем проверка констант в исходном уравнении.