Кратко и по существу — сопоставление двух методов для уравнения
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=r(x)$$ с непрерывными $p,q,r$ на отрезке.
1) Условия применимости
- Метод неопределённых коэффициентов применим только при постоянных коэффициентах $p,q=$ const и когда правая часть $r(x)$ принадлежит «стандартному» классу функций: конечные линейные комбинации многочленов, экспонент $e^{\alpha x}$, $\sin (\beta x),\cos (\beta x)$ и их произведений (и их сумм). При совпадении с решениями однородного уравнения надо домножать предполагаемый вид на $x^m$ (степень кратности корня характеристического многочлена).
- Метод вариации параметров применим в общем случае для любых непрерывных $p,q,r$. Требует знания двух линейно независимых решений однородного уравнения $y_1,y_2$ (где Wronskian $W(x)\ne 0$).
2) Формулы и практическая реализация
- Неопределённые коэффициенты: берёте Ansatz $y_p$ того вида, который соответствует $r(x)$, подставляете в уравнение и решаете линейную систему для постоянных коэффициентов в Ansatz. Обычно быстро, алгебраически.
- Вариация параметров: при известных $y_1,y_2$ $$y_p=-y_1(x)\int \frac{y_2(x)r(x)}{W(x)}dx+y_2(x)\int \frac{y_1(x)r(x)}{W(x)}dx,$$ где $W(x)=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2$. (Можно использовать выражение Абеля для $W$: $W(x)=W(x_0)\exp (-{\int }_{x_0}^{x}p(t)dt)$.)
3) Сравнение и обоснование выбора
- Простота и скорость: если условия для неопределённых коэффициентов выполнены, этот метод обычно проще и быстрее — решается система алгебры, не нужны интегралы.
- Общность: вариация параметров применима всегда (при непрерывных коэффициентах и известных $y_1,y_2$); она единственный выбор при переменных коэффициентах или при правой части произвольного вида.
- Вычислительная трудность: вариация параметров требует вычисления невырожденных интегралов; эти интегралы часто не выражаются элементарно. Неопределённые коэффициенты избегают интегралов.
- Резонанс: оба метода учитывают резонанс. В неопределённых коэффициентах это делается явно домножением на $x^m$; в вариации параметров резонанс не создаёт особых трудностей — формула работает автоматически.
4) Рекомендации (когда предпочтительнее)
- Выбирать метод неопределённых коэффициентов, если
- $p,q$ — константы,
- $r(x)$ — комбинация многочленов, экспонент, $\sin /\cos$ (или их произведений),
- вы хотите избежать интегрирования.
- Выбирать вариацию параметров, если
- $p,q$ не постоянны (переменные коэффициенты),
- $r(x)$ имеет общий вид, не попадающий в список для неопределённых коэффициентов,
- известны и удобно вычисляются $y_1,y_2$ и соответствующие интегралы.
Итого: метод неопределённых коэффициентов — эффективен и прост, но узкоспециализирован; вариация параметров — общий, но может требовать сложных интегралов.