Кратко: ошибка обычно в том, что избрасывают возможность, что в прогрессии встречаются не «соседние» по порядку целые квадраты. Ниже — пояснение, контрпримеры и правильный критерий.
Типичная неверная цепочка: предполагают, что если для некоторых $n,n^{\prime }$ выполнено
$$a+nd=k^2,a+n^{\prime }d=(k+1{)}^2,$$ то вычитают и получают
$$(n^{\prime }-n)d=(k+1{)}^2-k^2=2k+1,$$ далее замечают, что при больших $k$ справедливо $2k+1>d$ и делают вывод о противоречии. Ошибка: выведено противоречие только при предположении, что прогрессия содержит два подряд идущих по значению целых квадрата $k^2$ и $(k+1{)}^2$. Но прогрессия может содержать квадраты не подряд и не соседних целых чисел — это нормально и не противоречит увеличению разностей между соседними полными квадратами.
Явные контрпримеры:
- Прогрессия с $a=1,d=2$: $1,3,5,\dots$. Она содержит квадраты $1,9,25,49,\dots$. Действительно для нечётного $k=2m+1$ $$k^2=(2m+1{)}^2=1+2\cdot (2m(m+1)),$$ то есть $k^2=1+2n$ с целым $n=2m(m+1)$. Значит таких $n$ бесконечно много.
- Аналогично прогрессия $a=1,d=4$ содержит все нечётные квадраты (остаток 1 по модулю 4).
Правильный критерий: арифметическая прогрессия $a+nd(n\in \mathbb{Z})$ содержит квадраты тогда и только тогда, когда существует целое $x$ с
$$x^2\equiv a(\mathrm{mod}d).$$ Если такое $x$ есть, то для любого целого $t$ $$(x+td{)}^2=x^2+d\cdot (2xt+t^{2}d)=a+d\cdot m$$ для некоторого целого $m$, поэтому получаются бесконечно многие квадраты в прогрессии. Если же такого $x$ нет, то квадрат в прогрессии вообще не встречается (потому что любое квадрат равняется одному из классов вычетов по модулю $d$).
Контрприменты для понимания:
- возьмите $d=4$: квадраты по модулю 4 бывают только $0$ или $1$. Прогрессия с $a\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ никогда не содержит квадратов; с $a\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ содержит бесконечно много.
Вывод: ошибка — неверное предположение о том, что квадраты в прогрессии должны быть квадратами двух последовательных целых; правильный критерий — проверка вычета $a$ по модулю $d$.