Кратко: верно при обычном сложении конечного числа слагаемых и при абсолютной сходимости бесконечных сумм; в других случаях перестановка может изменить результат.
Пояснения:
- Для конечного числа слагаемых действует коммутативность: $a+b=b+a$ и в общем виде для любой перестановки $\sigma$ $$\sum _{i=1}^n{a}_i=\sum _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)}.$$ - Для рядов (${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$) перестановка слагаемых сохраняет сумму, если ряд абсолютно сходится, т.е. если ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|<\infty$. В этом случае любая перестановка даёт тот же предел.
- При условной сходимости перестановка может изменить сумму (теорема Римана). Пример: чередующийся гармонический ряд
$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}=\ln 2,$$ но его перестановками можно получить другие значения.
- Операции, не обладающие коммутативностью (вычитание, деление, умножение матриц и т.п.), при перестановке множителей/слагаемых могут давать иной результат.