Предположим противное: хитрец отсутствует, т.е. каждый — либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт). Пусть $k$ — число лжецов среди трёх.
1. Высказывание 3: «Все мы — лжецы» истинно тогда и только тогда, когда $k=3$. Но если $k=3$, то говорящий — лжец, а сказал бы правду — противоречие. Значит $k\ne 3$, следовательно высказывание 3 ложно, и говорящий 3 — лжец, так что $k\ge 1$.
2. Высказывание 1: «Среди нас есть лжец» истинно при $k\ge 1$. Поэтому говорящий 1 говорит правду, т.е. он рыцарь.
3. Высказывание 2: «Среди любых двух из нас есть лжец» истинно тогда и только тогда, когда $k\ge 2$ (если $k=1$, найдётся пара двух не-лжецов, в которой лжеца нет). Рассмотрим два варианта:
- Если $k=1$, то высказывание 2 ложно, значит говорящий 2 — лжец. Тогда уже есть по крайней мере два лжеца (говорящие 2 и 3), противоречие с $k=1$.
- Если $k\ge 2$, то высказывание 2 истинно, значит говорящий 2 — рыцарь. Тогда у нас два рыцаря (1 и 2) и один лжец (3), то есть $k=1$, противоречие с $k\ge 2$.
Оба варианта противоречивы. Значит предположение о том, что хитреца нет, неверно. Следовательно среди собравшихся обязательно есть хотя бы один хитрец.