Ответ: $18$ лет.
Кратко: в невисокосном году единственный день, который встречается $53$ раза, — это день недели $1$ января; в високосном — $1$ и $2$ января. Обозначим $w_y$ — день недели $1$ января года $y$ (кодируем так, что $0=$воскресенье, $\dots$, $5=$пятница, $6=$суббота). Тогда
$$w_{y+1}=(w_y+(\text{високосный}(y)?2:1))\mathrm{mod}7,$$ и год даёт больше воскресений, чем пятниц, тогда и только тогда, когда:
- невисокосный и $w_y=0$, или
- високосный и $w_y\in \{6,0\}$.
При $w_{2016}=5$ (1 января $2016$ — пятница) по перебору годов $2016$–$2116$ удовлетворяют $18$ годов, а именно:
$$2017,2023,2028,2034,2040,2045,2051,2056,2062,2068,2073,2079,2084,2090,2096,2102,2108,2113.$$