Ниже — краткая инструкция и несколько типичных приёмов при решении задач, где ключевое условие связано с умножением.
1) Понять условие и ввести переменные.
Пример: «произведение двух чисел равно 12» → ввести $x$ и $y$ и записать $xy=12$.
2) Перевести условие в уравнение или систему уравнений.
Пример: «сумма и произведение равны 7 и 12» → система $\{\begin{array}{l}x+y=7\\ xy=12\end{array}$.
3) Использовать стандартные свойства умножения:
- коммутативность: $ab=ba$,
- ассоциативность: $(ab)c=a(bc)$,
- распределительность: $a(b+c)=ab+ac$.
4) Частые методы решения:
- деление (если $ax=b$ и $a\ne 0$, то $x=\frac{b}{a}$); пример: $3x=9\Rightarrow x=\frac{9}{3}=3$;
- нулевая сумма (нулевой множитель): если $ab=0$, то $a=0$ или $b=0$;
- замена/подстановка: выразить одну переменную через другую, подставить в другое уравнение;
- домножение обеих частей уравнения на выражение (учитывать исключаемые значения);
- приведение к квадратному уравнению: из $x+\frac{12}{x}=7$ домножаем на $x$: $x^2-7x+12=0$.
5) Факторизация и корни: после получения многочлена попытайтесь разложить на множители или применить формулу корней квадратного уравнения.
6) При неравенствах: при домножении знака неравенства на отрицательное число направление неравенства меняется. Если умножаете обе части на неизвестный знак — сначала выясните знак этого множителя.
7) Целые или натуральные решения: используйте разложение на простые множители и подбор пар множителей. Пример: найти целые пары с $xy=12$ → пары $(\pm 1,\pm 12),(\pm 2,\pm 6),(\pm 3,\pm 4)$.
8) Проверка: подставьте найденные значения в исходное условие.
Примеры:
- Решить $3x=15$: $x=\frac{15}{3}=5$.
- Из системы $\{\begin{array}{l}x+y=7\\ xy=12\end{array}$. Подставляем $y=\frac{12}{x}$ в первое: $x+\frac{12}{x}=7$. Домножаем на $x$: $x^2-7x+12=0$. Разложение: $(x-3)(x-4)=0$ → $x=3$ или $x=4$; тогда пары $(3,4)$ и $(4,3)$.
Если скажете конкретную задачу, решу её пошагово.