Коротко — вся разница в предположениях задаётся поведением супервизора (host), формализуется через условные вероятности открытия двери $P(H\mid C,d)$ (где $C$ — дверь с призом, $d$ — выбранная игроком, $H$ — открытая супервизором дверь, $H\ne d$). После наблюдения $H=h$ оптимальная стратегия выбирается байесовски: сравниваем постериорные вероятности приза за оставшимися дверями и выбираем ту, где вероятность больше.
1) Общая формула (Bayes)
- Апостериор:
$$P(C=i\mid H=h,d)=\frac{P(C=i)P(H=h\mid C=i,d)}{{\sum }_{j}P(C=j)P(H=h\mid C=j,d)}.$$ - Две возможные стратегии после открытия: остаться с $d$ или переключиться на единственную неоткрытую дверь $s$. При выигрыше=1, проигрыше=0 выгоднее выбирать дверь с большей апостериорной вероятностью. То есть переключаться тогда и только тогда, когда
$$P(C=s\mid H=h,d)>P(C=d\mid H=h,d).$$ Эквивалентно (упростив множители):
$$P(C=s)P(H=h\mid C=s,d)>P(C=d)P(H=h\mid C=d,d).$$
2) Стандартная модель «Монти Холл» (классический случай)
- Предположения: $P(C=i)=1/3$; супервизор никогда не открывает дверь с машиной и никогда не открывает выбранную игроком; если при $C=d$ осталось две козы, он выбирает одну из них равновероятно.
- Тогда при наблюдении конкретной открытой двери $h$ апостериор для первоначально выбранной $d$ равен $1/3$, для оставшейся $s$ — $2/3$. Выгодно всегда переключаться; вероятность выигрыша при переключении $2/3$.
3) Модель «случайный открыватель» (host выбирает равновероятно одну из двух невыбранных дверей, даже если там машина)
- Теперь супервизор может открыть дверь с машиной; условие «не открывает машину» отсутствует.
- Если супервизор открыл дверь и там была коза (т.е. игра не закончилась), апостериор равен $1/2$ для каждой из оставшихся дверей, и переключение не даёт преимущества (выигрыш при переключении $1/2$). Если он открывает машину, игра закончена мгновенно (игрок проиграл при текущих правилах).
4) Смещённый выбор при двух козах
- Пусть при $C=d$ супервизор при выборе между двумя козами открывает конкретную одну с вероятностью $q$ (и другую с $1-q$). При $C=s$ он вынужден открыть единственную козу, ведущую к $H=h$ с вероятностью 1.
- Тогда при наблюдении $h$ (и симметричных априорах $1/3$) апостериоры:
$$P(C=d\mid H=h)=\frac{\frac{1}{3}q}{\frac{1}{3}q+\frac{1}{3}\cdot 1}=\frac{q}{q+1},P(C=s\mid H=h)=\frac{1}{q+1}.$$ Переключение выгодно тогда, когда $\frac{1}{q+1}>\frac{q}{q+1}$, т.е. $q<1$. Для $q=\frac{1}{2}$ получаем классические $\frac{2}{3}$; при $q\to 1$ оба варианта дают по $\frac{1}{2}$.
5) Общая интерпретация: какие модели меняют стратегию
- Если супервизор гарантированно не открывает машину (и не открывает выбранную игроком), то переключение никогда хуже, часто строго лучше. В этом классе моделей переключение — оптимально (при обычной выигрышной полезности).
- Если супервизор иногда открывает машину (т.е. может раскрыть приз), то факт открытия козы не даёт такой же информации: при равновероятном выборе открывателя переключение даёт не более $1/2$ шанс, и преимущество исчезает.
- Если супервизор действует стратегически (адверсариально) и мы не знаем его правила, нужно рассматривать игру в терминах максимина: выбирать стратегию, которая максимизирует минимальную выигрышную вероятность по всевозможным стратегиям супервизора. При полном отсутствии ограничений на супервизора гарантия может свестись к приоритету первоначального выбора (гарантия $P(C=d)$, обычно $1/3$), если супервизор может подбирать $H$ в зависимости от нашего алгоритма.
6) Формализация критерия выбора стратегии
- Байесовский критерий (максимизация ожидаемой полезности при известной модели): выбрать действие a∈{stay,switch} максимизирующее
$$\mathbb{E}[U\mid H=h,d,a]=\sum _{i}U(\text{результат при}C=i,a)P(C=i\mid H=h,d).$$ При $U=1$ для выигрыша и $0$ для проигрыша это сводится к выбору двери с наибольшей $P(C=\cdot \mid H=d,h)$.
- Модель-неопределность / адверсариальный критерий (максимин): выбрать стратегию π (возможно случайную), максимизирующую
$$\underset{P(H\mid C,d)\in \mathcal{M}}{\min }\mathrm{Pr}(\text{выигрыш}\mid \pi ,P(H\mid \cdot )),$$ где $\mathcal{M}$ — класс допустимых моделей супервизора (например, «не открывает выбранную дверь» и/или «не открывает машину»). Конкретная оптимальная стратегия зависит от $\mathcal{M}$.
Итого: формально задавайте модель супервизора через $P(H\mid C,d)$. По наблюдению $H=h$ вычисляйте апостериор по Байесу и выбирайте дверь с максимальной апостериорной вероятностью. При неопределённости о моделях переходите к максимин-подходу (игра против адверсариального супервизора).