Ниже — три разные стратегии, когда их применять и короткие формулы.
1) Формула суммы (если известны $a_1,a_n,n$).
- Идея: для арифметической прогрессии $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$.
- Когда предпочтительна: известны первый и последний члены и общее количество членов; самая быстрая и надёжная.
- Пример применения в вычислении пропущенного: если известен полный набор индексов и всё кроме одного члена, можно вычислить ожидаемую полную сумму по формуле и вычесть сумму известных членов, чтобы найти пропущенный.
2) Нахождение разности $d$ и восстановление членов (интерполяция по индексам).
- Идея: если известны два члена с индексами $i$ и $j$, то $d=\frac{a_j-a_i}{j-i}$. Тогда пропущенный на позиции $k$ равен $a_k=a_i+(k-i)d$. Полную сумму можно получить либо как $S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$, либо сложив известные + найденный член.
- Когда предпочтительна: когда нет одновременно и первого, и последнего члена, но есть пара известных членов с известной разницей индексов (или есть соседние члены, откуда легко взять $d$). Подходит для восстановления конкретного пропущенного члена.
3) Парный (симметричный) метод — использование свойств пар $a_i+a_{n-i+1}$.
- Идея: в АП все пары симметричных по концам членов равны: $a_i+a_{n-i+1}=a_1+a_n$. Если пропущен один член, можно парно суммировать имеющиеся члены и по остатку/по неравенству пар восстановить пропущенный. В частном случае нечётного $n$ и пропущенного среднего члена $a_{(n+1)/2}=\frac{a_1+a_n}{2}$.
- Когда предпочтительна: когда известны крайние члены или когда много членов, удобно группировать по парам — экономит вычисления и не требует явного $d$.
Пример, где «очевидная» стратегия вводит в заблуждение.
- Очевидная (но не всегда верная) стратегия: взять среднее известных членов и умножить на общее количество членов, т.е. полагать, что среднее известных равно среднему полной прогрессии, и считать $S_n\approx n\cdot \overline{\text{известных}}$.
- Контрпример: пусть прогрессия $1,3,5,7,9,11$ ($n=6$, сумма $S_6=\frac{6}{2}(1+11)=36$). Пропущен член $7$. Известные члены: $1,3,5,9,11$ — их среднее $\frac{1+3+5+9+11}{5}=\frac{29}{5}=5,8$. Умножение на $n$ даёт $6\cdot 5,8=34,8$, что неверно.
- Правильный подход здесь: найти $d$ (соседние известные $1,3$ дают $d=2$) и восстановить пропущенный $7$, либо использовать парность: $1+11=12,3+9=12\Rightarrow 5$ парируется с $7\Rightarrow 7$ — итоговая сумма $29+7=36$.
Кратко: выбирайте формулу суммы при известных краях; используйте восстановление по $d$, когда известны индексы или соседние члены; используйте парную симметрию при большом наборе данных или при поиске среднего/срединного члена. Не полагайтесь автоматически на среднее известных членов — это справедливо лишь в особых симметричных случаях.