Метод и решение (сжато):
1) Вводим суммы степеней $p_1=x+y+z,p_2=x^2+y^2+z^2,p_3=x^3+y^3+z^3$ и элементарные симметрические многочлены $e_1=x+y+z,e_2=xy+yz+zx,e_3=xyz$. По условию $p_1=3,p_2=5,p_3=7$.
2) По тождествам Ньютона:
$$p_2=e_1^2-2e_2\Rightarrow e_2=\frac{e_1^2-p_2}{2}=\frac{9-5}{2}=2.$$ $$p_3=e_1{p}_2-e_2{p}_1+3e_3\Rightarrow e_3=\frac{p_3-e_1{p}_2+e_2{p}_1}{3}=\frac{7-3\cdot 5+2\cdot 3}{3}=-\frac{2}{3}.$$
3) Тогда $x,y,z$ — корни многочлена
$$t^3-e_1{t}^2+e_{2}t-e_3=0\text{т.е.}{t}^3-3t^2+2t+\frac{2}{3}=0,$$ или в целых коэффициентах $3t^3-9t^2+6t+2=0$. Решать можно аналитически (формула Кардано) или численно.
4) Дискриминант этого кубического равен $\Delta =-8<0$, следовательно один корень действительный, два — комплексно-сопряжённые. Приближённые корни:
$$t_1\approx -0.24007,t_{2,3}\approx 1.62004\pm 0.39180i.$$
Выводы о множественности и однозначности:
- Мультисет (неупорядоченное множество) корней $\{x,y,z\}$ однозначно определяется (потому что $e_1,e_2,e_3$ однозначны). Поэтому все решения системы — перестановки корней найденного многочлена.
- Упорядоченная тройка $(x,y,z)$ не однозначна: если корни попарно различны, существует $3!=6$ упорядоченных решений (перестановок). При кратных корнях число упорядоченных решений меньше (перестановки совпадают).
- Если дополнительно требовать вещественность всех трёх переменных, то решений нет (так как у многочлена только один действительный корень). Если требовать комплексных переменных — ровно все перестановки трёх найденных корней дают все решения.
- Дополнительные условия (например, упорядочивание $x\ge y\ge z$, требование целочисленности/рациональности, или указание, что переменные вещественны) убирают или меняют симметричность и поэтому могут изменить количество допустимых тройк (в нашем случае целые/рациональные решения отсутствуют; требование всех вещественных делает систему несостоятельной).