Коротко: доказательство почти правильное, но содержит неформальные формулировки и пропуски. Укажу ошибки и дам строгую формулировку.
Логические упущения:
- Не указана область определения. Неравенство $x^2+1\ge 2x$ имеет смысл как неравенство упорядоченной величины только при $x\in \mathbb{R}$. Для комплексных $x$ сравнение с помощью «$\ge$» не определено.
- Термин «тождественно» употреблён неясно. Правильно: неравенство истинно для всех $x\in \mathbb{R}$, но это не тождественное равенство многочленов.
- Необоснованно опущено объяснение существования минимума: нужно показать, что на множестве $\mathbb{R}$ функция достигает наименьшего значения. (Здесь это легко: квадрат неотрицателен, значит минимально возможное значение равно $0$.)
- Утверждение о единственности точки минимума требует пояснения: нужно показать, что если $(x-1{)}^2=0$, то $x=1$.
Корректная (исчерпывающая) формулировка и доказательство:
- Рассмотрим функцию $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1-2x=(x-1{)}^2$.
- Для всех $x\in \mathbb{R}$ выполняется $f(x)=(x-1{)}^2\ge 0$ (квадрат любого действительного числа неотрицателен).
- Равенство $f(x)=0$ эквивалентно $(x-1{)}^2=0$, откуда $x-1=0$ и потому $x=1$. Следовательно, минимум значения $f$ равен $0$ и достигается при единственном $x=1$.
- Альтернативно: $f$ строго выпукла (вторая производная $f^{\prime \prime }(x)=2>0$), поэтому глобальный минимум единственен.
Итог: утверждение верно при явно указанном домене $x\in \mathbb{R}$; корректная формулировка: «Для всех $x\in \mathbb{R}$ выполнено $x^2+1\ge 2x$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=1$. Следовательно, функция $x\mapsto (x-1{)}^2$ имеет единственный глобальный минимум 0 при $x=1$.»