Коротко: точка, минимизирующая сумму расстояний $PA+PB+PC$, называется точкой Ферма (Торричелли). Есть два случая: либо все углы треугольника меньше $120^{\circ }$ — тогда оптимальная точка лежит внутри и характеризуется углами $120^{\circ }$; либо некоторый угол треугольника $\ge 120^{\circ }$ — тогда оптимум достигается в соответствующей вершине.
Способы построения и объяснения
1) Классическая геометрическая конструкция (через равносторонние треугольники)
- На двух сторонах треугольника, например на $AB$ и $AC$, внешне построить равносторонние треугольники с вершинами $X$ и $Y$ соответственно.
- Провести от $X$ прямую к вершине $C$ и от $Y$ прямую к вершине $B$. Их пересечение даёт точку Ферма $P$.
Обоснование: эти прямые пересекаются в точке, где углы $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^{\circ }$.
2) Построение через поворот на $60^{\circ }$ - Вращая треугольник вокруг вершины $A$ на $60^{\circ }$, точка $B$ перейдёт в $B^{\prime }$. Прямая $B^{\prime }C$ пересечёт соответствующую прямую из другой аналогичной операции в точке $P$. (Эквивалентно конструкции с равносторонними треугольниками; удобна реализация на чертёжных инструментах.)
3) Аналитический/вариационный метод (условие стационарности)
- Минимизируем функцию $f(P)=PA+PB+PC$. Условие стационарности даёт векторное уравнение
$$\sum _{X\in \{A,B,C\}}\frac{PX}{|PX|}=0.$$ Это эквивалентно условию, что направления к вершинам уравновешиваются, что даёт попарные углы $120^{\circ }$:
$$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^{\circ }.$$ Это даёт и способ проверки/построения: найти точку внутри, для которой эти углы выполняются.
4) Численные алгоритмы (практическое приближение)
- Алгоритм Вайцфельда (Weiszfeld) или градиентный/симплексный поиск позволяют быстро приближённо найти точку $P$ для произвольного треугольника; полезно при вычислениях на компьютере или когда точная геометрическая конструкция неудобна.
Сравнение методов
- Геометрические (равносторонние треугольники, поворот на $60^{\circ }$) дают точное построение и наглядное объяснение свойства $120^{\circ }$.
- Аналитический метод даёт обобщённое условие равновесия в виде векторного уравнения и легко доказывает уникальность внутреннего решения при всех углах $<120^{\circ }$.
- Численные методы удобны на практике для вычисления координат, особенно при неточном построении или в задаче оптимизации.
Когда оптимальная точка совпадает с вершиной
- Если в треугольнике существует угол $\ge 120^{\circ }$ (например, $\angle A\ge 120^{\circ }$), то оптимальная точка — соответствующая вершина (в нашем примере $P=A$). Интуитивно: внутренняя стационарная точка должна удовлетворять условию попарных углов $120^{\circ }$; при наличии угла треугольника $\ge 120^{\circ }$ такое внутреннее расположение невозможно, и функция суммы расстояний получает меньшие значения при выборе вершины с большим углом. Формально: если бы внутренняя точка $P$ давала минимум, то по условию стационарности все три угла при $P$ были бы по $120^{\circ }$, что несовместимо с геометрией треугольника при наличии угла $\ge 120^{\circ }$; следовательно минимум достигается в вершине с углом $\ge 120^{\circ }$.
Краткая сводка:
- все углы < $120^{\circ }$ → единственная внутренняя точка Ферма с попарными углами $120^{\circ }$ (построение: равносторонние треугольники / поворот на $60^{\circ }$ / аналитическое условие);
- есть угол $\ge 120^{\circ }$ → оптимум в соответствующей вершине.