Кратко: если предел в обычном (конечном) смысле существует, то функция обязательно ограничена в некоторой проколотой окрестности нуля. Следовательно примеров с конечным пределом и одновременно с тем, что функция не ограничена в любой окрестности нуля, не существует. Доказательство и примеры для расширённого предела ниже.
1) Невозможность для конечного предела.
Если ${\lim }_{x\to 0}f(x)=L\in \mathbb{R}$, то положим $\epsilon =1$. По определению предела существует $\delta >0$ такое, что для всех $x$ с $0<|x|<\delta$ выполняется $|f(x)-L|<1$. Отсюда $|f(x)|\le |L|+1$ при $0<|x|<\delta$, т.е. $f$ ограничена в проколотой окрестности нуля. Следовательно нельзя иметь одновременно конечный предел и неограниченность в любой окрестности.
2) Примеры с существованием предела в расширенном смысле ($+\infty$) и нарушение требования конечности предела (и, как следствие, ограниченности):
- $f(x)=\frac{1}{x^2}$ для $x\ne 0$ (можно положить $f(0)=0$).
Здесь ${\lim }_{x\to 0}f(x)=+\infty$. Функция не ограничена в любой окрестности нуля, потому что для любого $\delta >0$ при $0<|x|<\delta$ значения $f(x)$ могут быть сколь угодно большими. Нарушено требование конечности предела: не существует $L\in \mathbb{R}$ с выполненным эпсилон‑условием.
- $f(x)=\frac{1}{|x|}$ для $x\ne 0$.
Аналогично: ${\lim }_{x\to 0}f(x)=+\infty$; функция неограниченна на любых $(-\delta ,\delta )$. Опять нарушается условие существования конечного $L$.
- $f(x)=\exp \left(\frac{1}{|x|}\right)$ для $x\ne 0$.
${\lim }_{x\to 0}f(x)=+\infty$; крайне быстрый рост делает функцию неограниченной в любой окрестности нуля. Опять же отсутствует конечный предел.
3) Пример, где двухсторонний конечный предел не существует и поведение отличается по сторонам:
- $f(x)=\frac{1}{x}$ для $x\ne 0$.
Левые и правые односторонние пределы разные ($-\infty$ и $+\infty$), поэтому двухсторонний предел не существует вовсе; функция очевидно неограниченна в любых окрестностях. Здесь нарушается требование согласованности односторонних пределов (и конечно конечности предела).
Итого: если говорить о конечном (реальном) пределе, то примеров нет — конечный предел гарантирует ограниченность в некоторой проколотой окрестности. Примеры, приведённые выше, демонстрируют случаи существования предела в расширенной (бесконечной) форме или отсутствия двухстороннего предела; в этих примерах нарушается требование конечности предела (эпсилон‑дельта для некоторого $L\in \mathbb{R}$) и, соответственно, условие ограниченности.