Ошибка: из того, что $(a-b)(a^2+ab+b^2)=0$ либо $a=b$, либо $a^2+ab+b^2=0$, нельзя далее без пояснений утверждать, что во втором случае тоже $a=b$ (это неверно в общем).
Контрпример (комплексные числа): пусть $\omega =-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ (примитивный кубический корень из единицы) и $b=1$, $a=\omega$. Тогда
$$a^2+ab+b^2={\omega }^2+\omega +1=0,$$ но $a\ne b$ и при этом $a^3=b^3$. Значит второй множитель может обнуляться при $a\ne b$.
Общая схема исправления вывода:
- Уточнить область определения (над какими числами работаем). Над комплексными числами уравнение $a^2+ab+b^2=0$ даёт решения $a=\zeta b$, где ${\zeta }^3=1$. То есть либо $a=b$ (если $\zeta =1$), либо $a=\omega b$ или $a={\omega }^{2}b$ ($\omega \ne 1$).
- Над действительными числами второе уравнение даёт только $a=b=0$, поэтому там можно заключить $a=b$ в этом частном случае.
- В полях характеристики $3$ дополнительно $(a-b{)}^2=a^2+ab+b^2$, поэтому во второй ситуации также следует $a=b$.
Вывод: правильный шаг — перечислить все возможности, учитывая поле: либо $a=b$, либо $a=\omega b$ с $\omega \ne 1$ (над $\mathbb{C}$); если работа ведётся над $\mathbb{R}$, проверить вторую возможность и получить только $a=b=0$.