Серия
$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{n}{n^2+1}$$ исследуется так.
1) Сходимость знакопеременная (признак Лейбница). Обозначим $a_n=\frac{n}{n^2+1}>0$. Предел
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n^2+1}=0,$$ и $a_n$ монотонно невозрастающая для $n\ge 1$, поскольку для $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ имеем
$$f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}\le 0(x\ge 1).$$ По признаку Лейбница ряд сходится.
2) Абсолютная сходимость. Рассмотрим сумму модулей $\sum a_n=\sum \frac{n}{n^2+1}$. По признаку предельного сравнения с $\frac{1}{n}$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{n}{n^2+1}}{1/n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+1}=1,$$ а ряд $\sum 1/n$ расходится, поэтому $\sum a_n$ тоже расходится. Следовательно исходный ряд сходится условно, но не абсолютно.
3) Оценка остатка частичной суммы. Для знакопеременных рядов по признаку Лейбница остаток после $N$ членов удовлетворяет
$$|R_N|=\left|S-S_N\right|\le a_{N+1}=\frac{N+1}{(N+1{)}^2+1}.$$ Для грубой оценки можно также использовать
$$\frac{N+1}{(N+1{)}^2+1}\le \frac{1}{N+1}.$$
Краткое заключение: ряд сходится условно (по Лейбницу), не сходится абсолютно (пределное сравнение с $1/n$); остаток после $N$ членов не превосходит $\frac{N+1}{(N+1{)}^2+1}$ (и, в частности, $\frac{1}{N+1}$).