Задача: минимизировать
$$F[f]={\int }_0^1(f(x){)}^{2}dx$$ при ограничении
$${\int }_0^{1}f(x)dx=c,$$ на множестве непрерывных функций на $[0,1]$.
1) Существование и нижняя оценка. По неравенству Коши—Шwarz для функций $1$ и $f$ $${\left({\int }_0^{1}f(x)dx\right)}^2\le {\int }_0^1{1}^{2}dx{\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx=F[f].$$ Для любых допустимых $f$ слева стоит $c^2$, значит $\forall f$ с заданным средним $F[f]\ge c^2$. Функция $f^{\ast }(x)\equiv c$ принадлежит классу непрерывных допустимых функций и даёт $F[f^{\ast }]={\int }_0^1{c}^{2}dx=c^2$. Следовательно минимум существует и равен $c^2$.
2) Единственность. $F$ строго выпукла (точечная функция $y\mapsto y^2$ строго выпукла), значит минимума может быть не более один. Альтернативно из неравенства Коши—Шварца равенство достигается лишь если $f$ пропорциональна постоянной функции $1$; среди непрерывных функций это означает $f\equiv c$. Следовательно единственный минимизатор — $f^{\ast }(x)\equiv c$.
3) Вычисление через множитель Лагранжа (коротко). Формируем функционал
$$\mathcal{L}[f]={\int }_0^1{f}^{2}dx-\lambda \left({\int }_0^{1}fdx-c\right).$$ Вариация даёт условие $2f(x)-\lambda =0$, поэтому $f(x)=\lambda /2$ — постоянная. Подставляя ограничение получаем $\lambda /2=c$, значит $f^{\ast }(x)=c$.
4) Зависимость от параметра $c$. Решение линейно зависит от $c$: $f^{\ast }(x)=c$. Значение минимума равно
$$\min F=F[f^{\ast }]=c^2.$$
Короткое резюме: для любого действительного $c$ существует единственный минимизатор $f^{\ast }(x)\equiv c$; минимум равен $c^2$.