Кусочно линейная функция — это функция, область определения которой разбита на несколько подотрезков (или интервалов), и на каждом таком подотрезке функция задаётся линейной (точнее, аффинной) формулой вида $ax+b$.
Общее задание:
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{a}_{1}x+b_1,& x\in I_1,\\ a_{2}x+b_2,& x\in I_2,\\ ⋮& \end{array}$$ где $\{I_k\}$ — разбиение области определения на интервалы.
Пример (модуль):
$$f(x)=|x|=\{\begin{array}{ll}-x,& x<0,\\ x,& x\ge 0.\end{array}$$ Пояснение: на каждом из двух интервалов $x<0$ и $x\ge 0$ функция — прямая (линейная), но в точке $x=0$ меняется коэффициент наклона. Функция непрерывна, но не дифференцируема в точке разрыва наклона (здесь в нуле).
Замечания:
- Точки, в которых формула меняется, называются узловыми или точками перегиба.
- Кусочно линейная функция может быть непрерывной (если значения в узлах совпадают) или иметь разрывы.
- Широко применяется в аппроксимации (кусочно-линейные сплайны), моделировании, экономике и теории сигналов.