Кратко: это метод Ньютона (бабylonский метод) для корня уравнения $x^2-2=0$. При всех допустимых начальных условиях итерация сходится к одному из фиксированных пунктов $\pm \sqrt{2}$; при $a_1>0$ — к $\sqrt{2}$, при $a_1<0$ — к $-\sqrt{2}$. При $a_1=0$ выражение не определено; при $a_1=\pm \sqrt{2}$ — стационарные значения.
Доказательства и объяснения (сжато):
1) Фиксированные точки:
$$x=\frac{x+2/x}{2}⟺x^2=2⟺x=\pm \sqrt{2}.$$
2) Формулы, полезные для анализа:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{2-a_n^2}{2a_n},a_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{(a_n-\sqrt{2}{)}^2}{2a_n}.$$ Из второй формулы видно, что для любого $a_n\ne 0$ число $a_{n+1}-\sqrt{2}\ge 0$, поэтому все последующие члены (начиная с $n\ge 2$) имеют модуль не меньше $\sqrt{2}$. Из первой формулы: если $a_n>\sqrt{2}$ тогда $a_{n+1}<a_n$ (убывание), а если $0<a_n<\sqrt{2}$ — то $a_{n+1}>a_n$ (возрастание). В частности:
- при $a_1>\sqrt{2}$ последовательность положительна, убывает и ограничена снизу $\sqrt{2}$ ⇒ сходится к $\sqrt{2}$;
- при $0<a_1<\sqrt{2}$ сразу $a_2\ge \sqrt{2}$, далее члены убывают и ограничены снизу ⇒ снова предел $\sqrt{2}$.
3) Случай $a_1<0$: функция $f(x)=\frac{x+2/x}{2}$ нечетна ($f(-x)=-f(x)$), знак сохраняется, модуль следует той же схеме, поэтому при $a_1<0$ имеем $a_n\to -\sqrt{2}$.
4) Скорость сходимости: из
$$e_n:=a_n-\sqrt{2}\Rightarrow e_{n+1}=\frac{e_n^2}{2a_n},$$ при большой $n$ (когда $a_n\to \sqrt{2}$) даёт квадратичную сходимость:
$$e_{n+1}\approx \frac{e_n^2}{2\sqrt{2}}.$$
Итог: для любого $a_1\ne 0$ итерация сходится к ближайшему по знаку корню $\pm \sqrt{2}$; при $a_1>0$ — к $\sqrt{2}$.