Метод: берём производные, исследуем критические точки и монотонность (первой производной) и классифицируем экстремумы (второй производной). Это даёт полный и строгий анализ на $\mathbb{R}$.
1) Производные:
$$f(x)=x^3-3x+1,f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1),$$ $$f^{\prime \prime }(x)=6x.$$
2) Критические точки: $f^{\prime }(x)=0$ при $x=\pm 1$. Других точек нет, так как многочлен $f^{\prime }$ имеет только эти корни.
3) Классификация:
- При $x=-1$: $f^{\prime \prime }(-1)=6(-1)=-6<0$ ⇒ строгий локальный максимум. Значение $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+1=3$.
- При $x=1$: $f^{\prime \prime }(1)=6>0$ ⇒ строгий локальный минимум. Значение $f(1)=1-3+1=-1$.
Альтернативно по знаку $f^{\prime }$: для $x<-1$ оба множителя $(x-1),(x+1)$ отрицательны ⇒ $f^{\prime }>0$ (возрастание); для $-1<x<1$ знаки противоположны ⇒ $f^{\prime }<0$ (убывание); для $x>1$ оба положительны ⇒ $f^{\prime }>0$ (возрастание). Отсюда максимум в $-1$ и минимум в $1$ единственны.
4) Глобальные экстремумы: поскольку ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ и ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ (ведь ведущий член $x^3$ доминирует), функция не ограничена сверху и не ограничена снизу. Следовательно глобального максимума и глобального минимума на $\mathbb{R}$ нет.
Итого: единственный локальный максимум в точке $x=-1$ с $f(-1)=3$; единственный локальный минимум в точке $x=1$ с $f(1)=-1$. Глобальных экстремумов нет.