Нет — формулировка некорректна. Из существования предела частичных сумм следует только сходимость ряда, но не обязательна абсолютная сходимость.
Контрпример:
- Рассмотрим ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}$. По признаку Лейбница (монотонное убывание $1/n$ и стремление к $0$) он сходится: частичные суммы имеют предел $\ln 2$.
- Но ряд модулей равен гармоническому ряду ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$, который расходится. Значит исходный ряд сходится условно, но не абсолютно.
Дополнительные условия, при которых утверждение стало бы верным:
- Если члены неотрицательны: при $a_n\ge 0$ из существования предела частичных сумм следует $\sum a_n<\infty$, и тогда автоматически $\sum |a_n|=\sum a_n<\infty$ (абсолютная сходимость).
- Если ряд сходится «безусловно» (т. е. сумма не зависит от любой перестановки членов), то для числовых рядов это влечёт абсолютную сходимость (следствие теоремы Римана о перестановках: условно сходящийся ряд можно переставить так, что сумма изменится или ряд разойдётся).
Кратко: сходимость ряда (предел частичных сумм существует) ≠⇒ абсолютная сходимость, исключение — при дополнительных условиях (например, все члены неотрицательны или известна безусловная сходимость).