Решение и пояснения.
1) Сначала заметим, что правая часть должна быть неотрицательной: $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1$.
2) Разберём случаи по знаку выражения под модулем. Квадратный трёхчлен
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$ равен нулю при $x=1$ и $x=3$; он положителен при $x\le 1$ и $x\ge 3$, отрицателен при $1<x<3$.
3) Случай A: $x^2-4x+3\ge 0$ (то есть $x=1$ или $x\ge 3$). Тогда модуль исчезает:
$$x^2-4x+3=x-1\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow (x-1)(x-4)=0,$$ даёт $x=1$ и $x=4$. Оба удовлетворяют условиям (для $x=1$ подмодуль равен 0, для $x=4$ — положителен) и $x\ge 1$.
4) Случай B: $x^2-4x+3<0$ (то есть $1<x<3$). Тогда
$$-(x^2-4x+3)=x-1\Rightarrow -x^2+4x-3=x-1\Rightarrow x^2-3x+2=0,$$ даёт $x=1$ и $x=2$. Из них только $x=2$ лежит в интервале $(1,3)$ и удовлетворяет $x\ge 1$.
5) Итого решения: $x=1,2,4$.
Возможные ловушки:
- не учесть требование $x-1\ge 0$ (иначе правая часть не может равняться модулю);
- неправильно определить интервалы знака квадратного трехчлена (надо взять корни $1$ и $3$);
- забыть проверить, что найденные корни действительно удовлетворяют условию соответствующего случая (особенно значения на границе, например $x=1$, где подмодуль равен нулю).