Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{n}{n^2+1}$.
1) Проверка абсолютной сходимости.
Исследуем положительный ряд ∑n=1∞∣nn2+1∣=∑n=1∞nn2+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left|\frac{n}{n^2+1}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^2+1}n=1∑∞ n2+1n =n=1∑∞ n2+1n . Сравним с гармоническим рядом:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{n}{n^2+1}}{1/n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+1}=1.$$ Так как $\sum 1/n$ расходится, по предельному признаку сравнения ряд $\sum n/(n^2+1)$ тоже расходится. Значит исходный ряд не абсолютно сходится.
2) Проверка условной сходимости (признак Лейбница).
Пусть $b_n=\frac{n}{n^2+1}$. Нужно проверить: (i) $b_n\searrow 0$.
- $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n^2+1}=0$.
- Разность
$$b_n-b_{n+1}=\frac{n}{n^2+1}-\frac{n+1}{(n+1{)}^2+1}=\frac{n^2+n-1}{(n^2+1)((n+1{)}^2+1)}.$$ Числитель $n^2+n-1>0$ при $n\ge 1$, значит $b_n>b_{n+1}$ для всех $n\ge 1$.
По признаку Лейбница (чередование, монотонность и стремление к нулю) ряд сходится. Поскольку он не абсолютно сходится, имеем условную сходимость.
3) Оценка остатка.
Остаток после $N$-го члена удовлетворяет оценке Лейбница:
∣∑n=N+1∞(−1)n−1nn2+1∣≤bN+1=N+1(N+1)2+1. \left|\sum_{n=N+1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{n}{n^2+1}\right|\le b_{N+1}=\frac{N+1}{(N+1)^2+1}.
n=N+1∑∞ (−1)n−1n2+1n ≤bN+1 =(N+1)2+1N+1 .
4) Какие критерии использованы и когда предпочтительны:
- Признак Лейбница (альтернирующий, монотонно убывающий к нулю) — самый простой и естественный для таких знакопеременных рядов. Предпочтителен, когда явно видно убывание модулей и их предел 0.
- Предельный признак сравнения (limit comparison) с $1/n$ удобен для исследования абсолютной сходимости, когда члены асимптотически ведут себя как $1/n^p$.
- Признаки Дирихле и Абеля — обобщения: Дирихле полезен, если частичные суммы одного множителя ограничены и второй множитель монотонно стремится к нулю; Абеля — при сходных условиях и при наличии множителя с ограниченными частичными суммами (или при исследовании степенных рядов). Они применимы, когда Лейбниц не выполняется (например, модули не монотонны).
- Корневой/частный признаки обычно неинформативны здесь (дают предел $1$ и не решают задачу).
Вывод: ряд сходится условно (не абсолютно).