Приведено доказательство: «для любых вещественных чисел a и b верно a^2 + b^2 >= 2ab, следовательно (a-b)^2 >= 0» — проанализируйте корректность и логическую последовательность, укажите, есть ли цикличность в рассуждении и как формулировать доказательство правильно
Приведено доказательство: «для любых вещественных чисел a и b верно a^2 + b^2 >= 2ab, следовательно (a-b)^2 >= 0» — проанализируйте корректность и логическую последовательность, укажите, есть ли цикличность в рассуждении и как формулировать доказательство правильно
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
a2+b2≥2aba^2+b^2\ge 2aba2+b2≥2ab и (a−b)2≥0(a-b)^2\ge0(a−b)2≥0 ровно эквивалентны (разность первой и второй равна нулю), поэтому надо начать с более фундаментального факта, иначе рассуждение становится цикличным.
Правильная последовательность доказательства (без цикличности):
1. Для любого вещественного числа xxx справедливо x2≥0x^2\ge0x2≥0.
2. Возьмём x=a−bx=a-bx=a−b. Тогда (a−b)2≥0(a-b)^2\ge0(a−b)2≥0.
3. Раскрывая квадрат, получаем (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(a−b)2=a2−2ab+b2, следовательно a2+b2−2ab≥0a^2+b^2-2ab\ge0a2+b2−2ab≥0, т.е.
a2+b2≥2ab.a^2+b^2\ge2ab.a2+b2≥2ab. Равенство достигается при a=ba=ba=b.
Если начать с утверждения a2+b2≥2aba^2+b^2\ge2aba2+b2≥2ab без обоснования, а затем вывести (a−b)2≥0(a-b)^2\ge0(a−b)2≥0, то это замкнутое (циклическое) доказательство, поскольку обе формулы взаимно следуют друг из друга.