Найдем касательную в точке $x=1$.
1) Значение функции в точке:
$$y(1)=\ln (1^2+1)=\ln 2.$$
2) Производная (правило цепочки): если $y=\ln (u)$ и $u=x^2+1$, то $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$. Следовательно
$$y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1},$$ и в точке $x=1$ $$m=y^{\prime }(1)=\frac{2\cdot 1}{1^2+1}=1.$$
3) Уравнение касательной (точка-наклон):
$$y-\ln 2=1\cdot (x-1)\Rightarrow y=x-1+\ln 2.$$
Альтернативные подходы (кратко):
- Прямое вычисление через производную $y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$ — то же самое, что и пункт 2, но без отдельного формулирования цепочки (всё делается за один шаг).
- Определение через предел (вертикально строгий способ):
$$y^{\prime }(1)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln ((1+h{)}^2+1)-\ln 2}{h},$$ что даёт тот же результат $1$.
- Приближение через разложение в ряд (линейная аппроксимация): при $x=1+h$ $$\ln ((1+h{)}^2+1)=\ln 2+\underset{\text{линейный член}}{h}+O(h^2),$$ откуда линейная аппроксимация $y\approx \ln 2+(x-1)$ и та же касательная.
- Численные приближения: конечные разности (прямые или центральные) дают приближённую производную, полезно при отсутствии аналитической формулы.
Итог: касательная в точке $x=1$: $y=x-1+\ln 2$.