Коротко: всегда есть замкнутая формула $$S=\frac{n(n+1)}{2}$$ — это оптимально по асимптотике (O(1) арифметических операций). Дальше выбор практической реализации зависит от требований к точности, размеру $n$ и окружению.
Варианты и советы
- Целая точность в машинных типах:
- Чтобы избежать переполнения, делите до умножения:
$$S=\{\begin{array}{ll}\frac{n}{2}\cdot (n+1),& n\text{чётно}\\ n\cdot \frac{n+1}{2},& n\text{нечётно}\end{array}$$ - Оценка предела для 64‑бит: если используете signed 64‑bit ($2^{63}-1$), то $n\lesssim \sqrt{2(2^{63}-1)}\approx 4.29\cdot 10^9$; для unsigned 64‑bit ($2^{64}-1$) предел примерно $6.06\cdot 10^9$.
- Очень большие $n$ и необходимость точного результата:
- Используйте многоточечные целые (BigInteger, GMP, Python int). Операция — одно умножение большого целого и деление на 2; сложность зависит от алгоритма умножения (Карцауба, FFT и т.д.).
- Если $n$ задаётся в виде строки, просто преобразуйте в big‑int и примените $\frac{n(n+1)}{2}$.
- Когда нужен результат по модулю $m$:
- Если $m$ нечётно, можно использовать обратное к $2$: $$S\equiv n(n+1)\cdot 2^{-1}(\mathrm{mod}m).$$ - Чтобы не требовать обратного, делите один из множителей на $2$ заранее:
$$S\equiv \{\begin{array}{ll}(n/2)\mathrm{mod}m\cdot ((n+1)\mathrm{mod}m)(\mathrm{mod}m),& n\text{чётно}\\ (n\mathrm{mod}m)\cdot (((n+1)/2)\mathrm{mod}m)(\mathrm{mod}m),& \text{иначе}\end{array}$$
- Распределённые / параллельные вычисления:
- Разбейте диапазон на сегменты $[a,b]$ и для каждого вычисляйте
$$\sum _{k=a}^{b}k=\frac{(b-a+1)(a+b)}{2},$$ затем суммируйте результаты. Это минимизирует коммуникацию и даёт хорошую параллельность.
- Приближённые вычисления (когда точность не критична):
- Можно использовать плавающую точку: $\frac{n(n+1)}{2}$ в double, но потеря точности начинается при $n\gtrsim 2^{53}\approx 9\cdot 10^{15}$. Для больших $n$ при необходимости точности используйте long double или mpf (arbitrary‑precision float).
Краткое правило выбора
- Нужна точность и $n$ в пределах машинных типов → применять деление перед умножением.
- $n$ слишком велик для машинных типов → big‑int (GMP, Python int).
- Нужен результат по модулю → использовать деление до умножения или обратное к $2$.
- Распараллеливание / MapReduce → суммирование сегментов по формуле.
- Допускается приближение → плавающая точка подходящей точности.
Это покрывает все практические случаи; в большинстве задач оптимально просто вычислить $\frac{n(n+1)}{2}$ с учётом деления до умножения и типа данных.