Интеграл:
$$\int \frac{x^2+1}{x^4+1}dx.$$
1) Метод разложения на простые дроби (реальное разложение).
Факторизуем знаменатель:
$$x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1).$$ Ищем разложение
$$\frac{x^2+1}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}.$$ Решая систему коэффициентов получаем $A=C=0,B=D=\frac{1}{2}$, значит
$$\frac{x^2+1}{x^4+1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1}).$$ В каждой дроби завершаем квадрат:
$$x^2\pm \sqrt{2}x+1=(x\pm \frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2+\frac{1}{2},$$ и интегрируем:
$$\int \frac{dx}{(x\pm \frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2+\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\arctan (\sqrt{2}(x\pm \frac{\sqrt{2}}{2}))+C.$$ Итог:
$$\int \frac{x^2+1}{x^4+1}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}(\arctan (\sqrt{2}x+1)+\arctan (\sqrt{2}x-1))+C.$$
2) Более краткий явный подстановочный метод (удачная замена).
Возьмём
$$u=x-\frac{1}{x}\Rightarrow du=(1+\frac{1}{x^2})dx.$$ Заметим
$$x^4+1=x^2(x^2+\frac{1}{x^2}),\frac{x^2+1}{x^4+1}=\frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}.$$ Тогда подстановка даёт
$$\int \frac{x^2+1}{x^4+1}dx=\int \frac{du}{u^2+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{u}{\sqrt{2}}+C.$$ Возвращаем $u$:
$$\boxed{\int \frac{x^2+1}{x^4+1}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}+C.}$$ (Эта форма эквивалентна форме из метода частичных дробей.)
3) Почему очевидные подстановки не работают:
- $u=x^2$: тогда $du=2xdx$, а в интеграле нет множителя $x$, следовательно замена не приводит к выражению только через $u$.
- $u=\frac{1}{x}$: подстановка даёт ту же функцию (симметрия), но меняет ориентировку интеграла — она не уменьшает степень многочленов и не даёт явного примитивного выражения проще исходного.
- Попытка представить интегранд как производную знаменателя не работает, т.к. $(x^4+1{)}^{\prime }=4x^3$, что не связано с числителем $x^2+1$.
Вывод: наиболее простые и информативные методы — разложение на квадратичные множители с дальнейшей арктангенс-интеграцией или хитрая замена $u=x-\frac{1}{x}$, дающая компактный результат.