Решение. Представим разность квадратов в виде произведения:
$$(x-y)(x+y)=2025.$$ Пусть $a=x-y,b=x+y$. Тогда $ab=2025$ и
$$x=\frac{a+b}{2},y=\frac{b-a}{2}.$$ Так как $2025$ нечётно, все делители $a$ и $b$ нечётны, значит $\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2}$ — целые. Следовательно все целочисленные решения получаются из пар делителей $a,b$ с $ab=2025$.
Обобщённая форма всех решений:
$$x=\frac{k+\frac{2025}{k}}{2},y=\frac{\frac{2025}{k}-k}{2},$$ где $k$ пробегает все целые делители числа $2025$.
Перечислим ненегативные решения (берём пары положительных делителей $a\le b$):
$$\begin{array}{rl}1\cdot 2025& :(x,y)=(1013,1012),\\ 3\cdot 675& :(x,y)=(339,336),\\ 5\cdot 405& :(x,y)=(205,200),\\ 9\cdot 225& :(x,y)=(117,108),\\ 15\cdot 135& :(x,y)=(75,60),\\ 25\cdot 81& :(x,y)=(53,28),\\ 27\cdot 75& :(x,y)=(51,24),\\ 45\cdot 45& :(x,y)=(45,0).\end{array}$$ Все остальные целые решения получаются из этих заменой знаков: если $(x,y)$ — решение, то любая комбинация $(\pm x,\pm y)$ тоже решение. В частности, общее число целых пар $(x,y)$ равно $30$ (это равно $2\tau (2025)$, где $\tau (2025)=(4+1)(2+1)=15$ — число положительных делителей).
Кратко о теоретико-числовых подходах: разложение на множители (представление числа как произведения двух сомножителей), условие равенства чётностей сомножителей для целочисленности $x,y$, и подсчёт делителей через разложение на простые множители $2025=3^4\cdot 5^2$ (даёт число делителей $\tau (2025)=15$).