Ошибка в рассуждении обычно выглядит так:
1) Пусть $a+b=0$.
2) Предположим противное: ни одно из чисел не отрицательно, значит $a\ge 0$ и $b\ge 0$.
3) Тогда $a+b\ge 0$, а поскольку $a+b=0$, получаем $a=b=0$.
4) Отсюда делают вывод: это противоречит требованию «одно из них обязательно отрицательное», значит одно из чисел должно быть отрицательным.
Где ошибка: шаг 4 неверен — получение $a=b=0$ не является противоречием с исходным условием, потому что утверждение «одно из чисел обязательно отрицательное» само по себе ложно для случая обоих нулей. Ошибка — подмена «неотрицательное» на «положительное» (т.е. равенство нулю проигнорировано).
Контрпример: $a=0,b=0$ — сумма равна нулю, но ни одно число не отрицательно.
Правильная формулировка и исправленное рассуждение: из $a+b=0$ следует $b=-a$. Значит либо $a=0$ и тогда $b=0$, либо $a>0$ и тогда $b<0$, либо $a<0$ и тогда $b>0$. Иными словами:
- либо оба числа равны нулю,
- либо одно положительно, другое отрицательно.
Утверждение «одно из них обязательно отрицательное» нужно заменить на «либо оба нули, либо числа имеют противоположные знаки».