Вероятность того, что в группе из $n$ человек найдутся двое с одинаковым днём рождения (приравнивая год к 365 дням и считая дни равновероятными) равна
$$P(n)=1-\prod _{k=0}^{n-1}\frac{365-k}{365},$$ потому что второму человеку нужно не попасть на день первого, третьему — не на дни первых двух и т.д.
Эта вероятность превышает $50\%$ уже при $n=23$:
$$P(23)\approx \mathrm{0.5073.}$$
Короткая приближающая оценка, объясняющая число 23. Для комплементарной вероятности всех разных дней берём логарифм:
$$\ln \prod _{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{365}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\ln \left(1-\frac{k}{365}\right)\approx -\sum _{k=0}^{n-1}\frac{k}{365}=-\frac{n(n-1)}{2\cdot 365},$$ (использовано $\ln (1-x)\approx -x$ при малых $x$). Следовательно
$$\prod _{k=0}^{n-1}\frac{365-k}{365}\approx \exp \left(-\frac{n(n-1)}{2\cdot 365}\right).$$ Приравнивая это к $0.5$ получаем
$$\frac{n(n-1)}{2\cdot 365}\approx \ln 2,$$ и отсюда $n\approx \sqrt{2\cdot 365\cdot \ln 2}\approx 22.5$, т.е. порог — $23$.
Почему интуиция ошибается: многие мыслят о совпадении с конкретным человеком или конкретной датой (для этого действительно нужно около $183$ человек, чтобы шанс превысил $50\%$), тогда как задача просит совпадение между любыми двумя. Число возможных пар растёт квадратично: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2}$, поэтому достаточно сравнительно небольшого $n$, чтобы появилось много пар и высокая вероятность хоть одного совпадения. Также люди часто неверно предполагают независимость событий «каждый следующий не совпадает», что вводит в заблуждение.
(Аналог для года из $m$ дней: порог примерно $n\approx \sqrt{2m\ln 2}$.)