Пример и анализ.
1) Пример поточечной, но не равномерной сходимости:
Возьмём $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f_n(x)=x^n$. Тогда
$$f_n(x)\to f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<1,\\ 1,& x=1.\end{array}$$ Сходимость поточечная, но не равномерная, поскольку
$$\underset{x\in [0,1]}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=\underset{0\le x<1}{\sup }{x}^n=1\nrightarrow 0.$$
2) Последствия для интегралов:
- В данном примере
$${\int }_0^1{f}_n(x)dx=\frac{1}{n+1}\to 0={\int }_0^{1}f(x)dx,$$ т.е. предел интегралов равен интегралу предела. Это возможно, хотя сходимость не равномерна, потому что $0\le x^n\le 1$ и можно применить теорему о доминированной сходимости (или просто посчитать интеграл).
- Но в общем поточечная сходимость не гарантирует обмен предела и интеграла. Контрпример:
$$g_n(x)=n{1}_{[0,1/n]}(x)\text{на}[0,1].$$ Тогда $g_n(x)\to 0$ для всякого $x>0$ (и для почти всех точек), но
$${\int }_0^1{g}_n(x)dx=1\nrightarrow 0={\int }_0^{1}0dx.$$ Вывод: чтобы гарантировать $\lim \int f_n=\int \lim f_n$ нужны дополнительные условия (например, равномерная сходимость или критерии типа доминированной/монотонной сходимости в теории Лебега).
3) Последствия для производных:
- Теорема (сформулированно кратко): если $f_n$ дифференцируемы на $[a,b]$, $f_n^{\prime }(x)$ сходятся равномерно к функции $g$ и хотя бы в одной точке $x_0$ значения $f_n(x_0)$ сходятся, то $f_n$ сходятся равномерно к некоторой $f$ и $f^{\prime }(x)=g(x)$. То есть для обмена предела и дифференцирования требуется равномерная сходимость производных (плюс сходимость в одной точке).
- Контрпример, когда обмен не выполняется: пусть
$$h_n(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}\text{на}[-1,1].$$ Тогда $h_n(x)\to 0$ (даже равномерно), но
$$h_n^{\prime }(x)=\frac{1-n{x}^2}{(1+n{x}^2{)}^2},h_n^{\prime }(0)=1\text{для всех}n,$$ и при $x\ne 0$ имеем $h_n^{\prime }(x)\to 0$. Следовательно предел производных не совпадает с производной предела в точке $0$ (предел производных в 0 равен 1, а $(\lim h_n{)}^{\prime }(0)=0$). Вывод: даже равномерная сходимость функций не обеспечивает равенства $\lim f_n^{\prime }=(\lim f_n{)}^{\prime }$; нужно требовать равномерную сходимость самих $f_n^{\prime }$.
Краткий итог:
- Поточечная сходимость сама по себе не гарантирует обмена предела с интегралом или с производной.
- Для интегралов нужны дополнительные условия (равномерность, доминирование и т. п.).
- Для производных требуется равномерная сходимость производных (и некоторая сходимость значений в одной точке), иначе предел производных может не совпадать с производной предела.