Кратко и по шагам.
Предварительная проверка: выполняется неравенство треугольника $7+8>9,7+9>8,8+9>7$ — построение возможно.
Обозначения: пусть стороны заданы как $a=7$ (против вершины $A$, т.е. $BC=a$), $b=8$ (против $B$, т.е. $CA=b$), $c=9$ (против $C$, т.е. $AB=c$).
Построение циркулем и линейкой:
1. На листе проведите прямую и отложите на ней отрезок $\overline{AB}$ длиной $AB=c=9$.
2. Установите циркуль на радиус $b=8$, центр в точке $A$, проведите дугу.
3. Установите циркуль на радиус $a=7$, центр в точке $B$, проведите вторую дугу.
4. Точки пересечения дуг — две симметричные вершины $C$. Выберите одну из них; обозначьте выбранную как $C$.
5. Проведите отрезки $\overline{AC}$ и $\overline{BC}$. Получили треугольник $ABC$ со сторонами $AB=9,BC=7,CA=8$.
Проверка точности (по формуле координат, при проверке на бумаге можно измерить):
- Если положить $A=(0,0),B=(c,0)=(9,0)$, абсцисса пересечения вычисляется как
$$x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}=\frac{8^2+9^2-7^2}{2\cdot 9}=\frac{96}{18}=\frac{16}{3}\approx 5.333.$$ - Высота (ордината) равна
$$y=\sqrt{b^2-x^2}=\sqrt{64-{\left(\frac{16}{3}\right)}^2}=\frac{8\sqrt{5}}{3}\approx \mathrm{5.963.}$$ Измерив полученную точку $C$, можно сверить длины и/или угол по теореме косинусов:
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$$
Возможные источники погрешностей и способы их минимизации:
- Неправильная установка радиуса циркуля (смещение при считывании) — минимизировать: использовать счётчик/делитель или переводить расстояние делителем, проверять радиус перед каждой дугой.
- Невысокая точность ударных отметок и толстая линия карандаша — минимизировать: тонкий острый грифель/игольчатая насадка, тонкие линии, затем подчистить.
- Соскальзывание или люфт циркуля — минимизировать: затянуть винты, держать циркуль вертикально, опираться на плотную поверхность.
- Параллакс при переносе/чтении — минимизировать: смотреть строго перпендикулярно, использовать делитель для переноса расстояний.
- Малый масштаб (сильная относительная ошибка при малых длинах) — минимизировать: увеличьте масштаб построения (например, в 2–5 раз).
- Нерезкие центры на бумаге (скользкая бумага) — использовать подложку, фиксировать лист, проводить лёгкие метки и затем тянуть окончательные линии.
Дополнительные рекомендации:
- Перед финальным штрихом проверить пересечения дуг: если дуги не пересекаются — ошибка в отложенных длинах или нарушено неравенство треугольника.
- Для большей точности пользуйтесь штангенциркулем/линейкой для контрольных измерений после построения.